Se 4¹⁶ . 5²⁵ = a . 10ⁿ com 1 ≤ a ≤ 10, então n é igual a? Passo a passo, por favor.... Pergunta de ideia deRosanebarranco

January 2020 1 141 Report

Se 4¹⁶ . 5²⁵ = a . 10ⁿ com 1 ≤ a ≤ 10, então n é igual a? Passo a passo, por favor.

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Lukyo

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Isole o a na equação dada:

4¹⁶ · 5²⁵ = a · 10ⁿ

4¹⁶ · 5²⁵
a = ——————
10ⁿ

Como 1 ≤ a ≤ 10, devemos ter então

4¹⁶ · 5²⁵
1 ≤ —————— ≤ 10
10ⁿ

   (2²)¹⁶ · 5²⁵
1 ≤ ——————— ≤ 10
   10ⁿ

2²·¹⁶ · 5²⁵
1 ≤ —————— ≤ 10
10ⁿ

    2³² · 5²⁵
1 ≤ —————— ≤ 10
10ⁿ

Reescreva o expoente 32 como 7 + 25:

2⁷⁺²⁵ · 5²⁵
1 ≤ —————— ≤ 10
10ⁿ

Aplicando propriedades da potenciação:

2⁷ · 2²⁵ · 5²⁵
1 ≤ ————–——— ≤ 10
10ⁿ

   2⁷ · (2 · 5)²⁵
1 ≤ ————–——— ≤ 10
10ⁿ

128 · 10²⁵
1 ≤ ———–——— ≤ 10
   10ⁿ

1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤ 10 (i)

Daí, o nosso problema se reduz a resolver a dupla desigualdade acima para n.

$\left\{\!\begin{array}{lc} \mathsf{1 \le 128 \cdot 10^{25-n}}&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ \mathsf{128 \cdot 10^{25-n}\le 10}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$

Resolvendo as inequações (ii) e (iii) separadamente:

• 1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ

   1
    ——— ≤ 10²⁵⁻ⁿ
   128

Como a base é 10, que é maior que 1, tomando logaritmos de base 10 dos dois lados, o sentido da desigualdade se mantém:

$\mathsf{\ell og\!\left(\dfrac{1}{128} \right )\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{\ell og\!\left(128^{-1}\right)\le 25-n}\\\\ \mathsf{-\ell og(128)\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{n\le 25+\ell og(128)}$

• 128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤ 10

      10
    10²⁵⁻ⁿ ≤ ———
      128

Tomando os logaritmos,

$\mathsf{25-n\le \ell og\!\left(\dfrac{10}{128} \right )}\\\\\\ \mathsf{25-n\le \ell og(10)-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-n\le 1-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-1+\ell og(128)\le n}\\\\\\ \mathsf{n\ge 24+\ell og(128)}$

Fazendo a interseção, obtemos a solução para a dupla desigualdade (i):

$\mathsf{24+\ell og(128)\le n\le 25+\ell og(128)}$ <——— esta é a solução.

—————

Caso esteja procurando soluções inteiras, fazemos mais uma análise:

100 < 128 < 1000

10² < 128 < 10³

Portanto,

$\mathsf{2\le \ell og(128) \le 3}$

e dessa forma

$\mathsf{24+2\le 24+\ell og(128) \le 24+3}\\\\\\ \mathsf{26\le 24+\ell og(128) \le 27}$

e também

$\mathsf{25+2\le 25+\ell og(128) \le 25+3}\\\\\\ \mathsf{27\le 25+\ell og(128) \le 28}$

de onde tiramos

$\mathsf{26\le 24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128) \le 28}\\\\\\ \mathsf{24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128)}$

Logo, a única solução inteira é n = 27.

Bons estudos! :-)

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