Seja a equação diferencial
y′′ + 2y′ − 3 = 0
. Sabe-se que as funções y=exp(x) e y=exp(−3x)
são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda à condição de contorno y(0)=2 e y′(1)=e − 3e^−3.
Respostas
A) 2e^x − 2e^−3x
B) e^x + e^−3x
C) 2e^2x − e^−4x
D) e^x + 2e^−3x
E) A) 2e^x + 3e^−x
y′′ + 2y′ − 3 = 0
. Sabe-se que as funções y=exp(x) e y=exp(−3x)
são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda à condição de contorno y(0)=2 e y′(1)=e − 3e^−3.
Respostas
A) 2e^x − 2e^−3x
B) e^x + e^−3x
C) 2e^2x − e^−4x
D) e^x + 2e^−3x
E) A) 2e^x + 3e^−x
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Resposta: A resposta correta corresponde a (B). Veja a explicação abaixo para aprender muito mais.
Explicação passo a passo:
Dado que y = exp(x) e y = exp(-3x) são soluções da equação diferencial y′′ + 2y′ − 3 = 0, podemos usar o princípio da superposição para escrever a solução geral como uma combinação linear dessas duas soluções: y = C1 * exp(x) + C2 * exp(-3x), onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas.
Para encontrar os valores de C1 e C2, podemos usar as condições de contorno fornecidas: y(0) = 2 e y′(1) = e - 3e^(-3).
Substituindo x = 0 na solução geral, temos: y(0) = C1 * exp(0) + C2 * exp(0) = C1 + C2. Como y(0) = 2, temos que C1 + C2 = 2.
Agora, vamos calcular a derivada de y em relação a x: y′ = C1 * exp(x) - 3C2 * exp(-3x). Substituindo x = 1, temos: y′(1) = C1 * exp(1) - 3C2 * exp(-3). Como y′(1) = e - 3e^(-3), temos que C1 * exp(1) - 3C2 * exp(-3) = e - 3e^(-3).
Resolvendo esse sistema de equações para C1 e C2, encontramos que C1 = 1 e C2 = 1. Portanto, a solução que atende às condições de contorno é y = exp(x) + exp(-3x), o que corresponde à alternativa (B).