Seja ℝ → ℝⁿ e sua norma integráveis em um intervalo [a,b]. Prove que.... Pergunta de ideia dePeterson42

August 2019 1 118 Report

Seja $F:$ ℝ → ℝⁿ e sua norma integráveis em um intervalo [a,b]. Prove que

$\displaystyle\bigg\|\int_a^b F(t)\,dt\bigg\|\le \int_a^b\|F(t)\|\,dt$

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GFerraz

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Olá, Peterson.

"Quando tudo mais falha, reporte-se ao manual"

A definição da integral de uma curva é:

$\displaystyle\int_{a}^{b}F(t)dt = \lim_{\Delta_{m\acute{a}x}\to0}\sum_{i=1}^{m} F(c_i)\Delta t_i$

Quando a soma existe.

============

Vamos, então, colocar a norma de ambos os lados, pois são integráveis:

$\displaystyle\left\|\int_a^bF(t)dt\right\| = \lim_{\Delta_{m\acute{a}x}\to0}} \left\|\sum_{i=1}^mF(c_i)\Delta t_i\right\|$

Porém, podemos usar a desigualdade triangular, pois:

$\displaystyle\left\|\sum_{i=1}^mF(c_i)\Delta t_i\right\| = \|F(c_1)\Delta t_1 + F(c_2) \Delta t_2 +\dots+F(c_m)\Delta t_m\|\leq \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \leq \|F(c_1)\Delta t_1\| + \|F(c_2)\Delta t_2\|+\dots+\|F(c_m)\Delta t_m\| =\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\|F(c_1)\|\Delta t_1 + \|F(c_2)\|\Delta t_2+\dots+\|F(c_m)\|\Delta t_m =\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{i=1}^m\|F(c_i)\|\Delta t_i$

Assim, teremos:

$\displaystyle\left\|\int_a^bF(t)dt\right\| = \lim_{\Delta_{m\acute{a}x}\to0}} \left\|\sum_{i=1}^mF(c_i)\Delta t_i\right\|\leq\lim_{\Delta_{m\acute{a}x}\to0}\sum_{i=1}^m\|F(c_i)\|\Delta t_i =\\ \\ \\ =\int_a^b\|F(t)\|dt$

Portanto:

$\displaystyle\left\|\int_a^bF(t)dt\right\| \leq\int_a^b\|F(t)\|dt~~~~~~~ \texttt{q.e.d}$

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Peterson42 GFerraz, muito obrigado pela resolução! Você acha que essa questão poderia ser resolvida de outra maneira? Eu estava pensando que tinha alguma coisa a ver com desigualdade de Cauchy-Schwarz. Acha que ela pode ser empregada nesse caso ou estou falando abobrinha? kkk

Peterson42 Obrigado novamente pela resposta!

GFerraz Hm, não vejo como. Ela é interessante quando estamos manipulando produtos. Para caso com somas geralmente usamos a desigualdade triangular(ou a de Bernoulli, em alguns casos).

GFerraz Além disso, precisaríamos colocar a norma dentro da integral de algum jeito, e isso precisaria de um meio para realizarmos isso. Fazemos com a soma de Riemann associada. Mas se encontrar um modo, ficaria feliz em checar :)

Peterson42 Vou esboçar o que você fez passo a passo aqui, vai me ajudar a fixar melhor. Valew pelas dicas!

GFerraz Às ordens!