Considere uma função tal queSabendo-se que , calcule.... Pergunta de ideia dePeterson42

August 2019 1 181 Report

Considere uma função $f(x,y)$ tal que

$\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx$

$\frac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^{2}+tg^{2} y$

Sabendo-se que $f(0,\pi)=1$ , calcule $f(0,\frac{\pi}{4})$

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Lukyo
Temos uma função f(x, y), da qual conhecemos as suas derivadas parciais:

• $\dfrac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx$

• $\dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^2+\mathrm{tg^2\,}y$

Então, vamos tomar a primitiva relativa à variável x:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}+2yx\\\\\\ f(x,\,y)=\diagup\!\!\!\! y\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! y}\,e^{xy}+\diagup\!\!\!\! 2y\cdot \dfrac{x^2}{\diagup\!\!\!\! 2}+g(y)\\\\\\ f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+g(y)\qquad\quad\mathsf{(i)}$

onde g(y) é uma função apenas da variável y.

Agora, tome a derivada parcial de f em relação a y na equação (i):

$\dfrac{\partial}{\partial y}\big[f(x,\,y)\big]=\dfrac{\partial}{\partial y}\big[e^{xy}+yx^2+g(y)\big]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy})+\dfrac{\partial}{\partial y}(yx^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}\big[g(y)\big]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)+x^2+\dfrac{d}{dy}\big[g(y)]\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\cdot x+x^2+g'(y)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}+x^2+g'(y)\qquad\quad\mathsf{(ii)}$

Comparando (ii) com a derivada parcial fornecida pela questão, temos que

$xe^{xy}+x^2+g'(y)=xe^{xy}+x^2+\mathrm{tg^2\,}y\\\\ g'(y)=\mathrm{tg^2\,}y\\\\ g'(y)=\sec^2 y-1\\\\ g(y)=\displaystyle\int(\sec^2 y-1)\,dy\\\\ g(y)=\mathrm{tg\,}y-y+C$

onde C é uma constante.

Dessa forma, a lei de f(x, y) fica

$f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+\mathrm{tg\,}y-y+C$

Precisamos determinar o valor da constante C. Para isso, usamos os pontos dados:

$f(0,\,\pi)=1\\\\ e^{0\cdot \pi}+\pi\cdot 0^2+\mathrm{tg\,}\pi-\pi+C=1\\\\ e^0+\pi\cdot 0+\mathrm{tg\,}\pi-\pi+C=1\\\\ 1+0+0-\pi+C=1\\\\ C=1-1+\pi\\\\ C=\pi$

A lei de f(x, y) é então

$f(x,\,y)=e^{xy}+yx^2+\mathrm{tg\,}y-y+\pi$

e consequentemente,

$f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{0\cdot \frac{\pi}{4}}+\dfrac{\pi}{4}\cdot 0^2+\mathrm{tg\,}\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=e^0+\dfrac{\pi}{4}\cdot 0+\mathrm{tg\,}\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=1+0+1-\dfrac{\pi}{4}+\pi\\\\\\ f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=2-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{4}$

$f\!\left(0,\,\dfrac{\pi}{4}\right)=2+\dfrac{3\pi}{4}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

2 votes Thanks 1

Peterson42 Muito obrigado, Lukyo!

Lukyo De nada! :D