Seja f uma função diferenciável em P e e duas direções, tal que Letra a) Letra b) na direção.... Pergunta de ideia deYoda

August 2019 1 93 Report

Seja f uma função diferenciável em P e $\vec{u} \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \vec{i} \ + \ \frac{1}{2} \ \vec{j}$

e $\vec{v} \ = \ \frac{1}{2} \ \vec{i} \ + \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \vec{j}$
duas direções, tal que

$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}} \ (P) \ = \ \sqrt{3}$

$\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} \ (P) \ = \ - 2 \sqrt{3}$

Letra a) $\bigtriangledown f \ (P)$

Letra b) $\frac{\partial f}{\partial \vec{w}} \ (P) \ = \ ?$ na direção $\vec{i} \ + \ \vec{j}$

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Lukyo

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Temos uma função f diferenciável no ponto P e dois vetores direções

$\mathsf{\overset{\to}{u}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\overset{\to}{i}+\dfrac{1}{2}\,\overset{\to}{j}=\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2}\Big)}$

$\mathsf{\overset{\to}{v}=\dfrac{1}{2}\,\overset{\to}{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\overset{\to}{j}=\Big(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)}$

de modo que as derivadas direcionais de f no ponto P nas direções acima são

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{u}}(P)=\sqrt{3}}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{v}}(P)=-2\sqrt{3}}$

Observe que os vetores dados já são unitários, ou seja,

$\mathsf{\|\overset{\to}{u}\|=\Big\|\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,\dfrac{1}{2}\Big)\Big\|=1}\\\\\\ \mathsf{\|\overset{\to}{v}\|=\Big\|\Big(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)\Big\|=1}$

Isso facilitará os nossos cálculos posteriormente.

a) Calcular o vetor $\mathsf{\nabla f(P).}$

Suponha que o vetor gradiente de f em P seja

$\mathsf{\nabla f(P)=a\overset{\to}{i}+b\overset{\to}{j}=(a,\,b).}$

Como f é diferenciável em P, temos que

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{u}}(P)=\nabla f(P)\cdot \dfrac{\overset{\to}{u}}{\|\overset{\to}{u}\|}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}=(a,\,b)\cdot \dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{1}{2})}{1}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}=a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+b\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}\,a+b=2\sqrt{3}\qquad\quad(i)}$

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{v}}(P)=\nabla f(P)\cdot \dfrac{\overset{\to}{v}}{\|\overset{\to}{v}\|}}\\\\\\ \mathsf{-2\sqrt{3}=(a,\,b)\cdot \dfrac{(\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2})}{1}}\\\\\\ \mathsf{-2\sqrt{3}=a\cdot \dfrac{1}{2}+b\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{a+\sqrt{3}\,b=-4\sqrt{3}\qquad\quad(ii)}$

Resolva o sistema formado pelas equações (i) e (ii).

$\left\{\begin{array}{rcrcrc} \mathsf{\sqrt{3}\,a}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{b}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{2\sqrt{3}}&\qquad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{a}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\sqrt{3}\,b}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{-4\sqrt{3}}&\qquad\mathsf{(ii)} \end{array}\right.$

Multiplique a equação (i) por −√3, e depois some com a equação (ii):

$\mathsf{-\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}\,a+b)+a+\sqrt{3}\,b=-\sqrt{3}\cdot (2\sqrt{3})-4\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{-3a-\sqrt{3}\,b+a+\sqrt{3}\,b=-6-4\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{-2a=-6-4\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{a=\dfrac{-6-4\sqrt{3}}{-2}}\\\\\\ \mathsf{a=3+2\sqrt{3}}$

Substitua na equação (i) para encontrar o valor de b:

$\mathsf{\sqrt{3}\cdot (3+2\sqrt{3})+b=2\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{3\sqrt{3}+6+b=2\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{b=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6}\\\\ \mathsf{b=-6-\sqrt{3}}$

Logo, o vetor gradiente de f em P é

$\mathsf{\nabla f(P)=(3+2\sqrt{3})\overset{\to}{i}+(-6-\sqrt{3})\overset{\to}{j}=(3+2\sqrt{3},\,-6-\sqrt{3}).}$

b) Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor

$\mathsf{\overset{\to}{w}=\overset{\to}{i}+\overset{\to}{j}=(1,\,1).}$

Como f é diferenciável em P, podemos novamente usar o cálculo do produto escalar:

$\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=\nabla f(P)\cdot \dfrac{\overset{\to}{w}}{\|\overset{\to}{w}\|}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=(3+2\sqrt{3},\,-6-\sqrt{3})\cdot \dfrac{(1,\,1)}{\|(1,\,1)\|}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=(3+2\sqrt{3},\,-6-\sqrt{3})\cdot \dfrac{(1,\,1)}{\sqrt{1^2+1^2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=\dfrac{(3+2\sqrt{3},\,-6-\sqrt{3})\cdot (1,\,1)}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=\dfrac{(3+2\sqrt{3})\cdot 1+(-6-\sqrt{3})\cdot 1}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=\dfrac{3+2\sqrt{3}-6-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial \overset{\to}{w}}(P)=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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Yoda Nossa! Muito obrigado, Lukyo. Grato demais!!

Lukyo Pera, vou fazer algumas correções. Acho que troquei alguma coisa nas equações (i) e (ii)

Yoda Tá certo

Lukyo Pronto.

Yoda Muito obrigado mesmo, Lukyo, ajudou muito.

Yoda Lukyo, se você tiver um tempo, será pode dá uma olhada em uma questão que tem em meu perfil, pra encontrar os ponto de max e min pelas retas? Se não puder, não tem problema. Você já me ajudou bastante!!!