Resposta:

Para determinar a solução do sistema linear dado, podemos utilizar o método da eliminação ou o método da matriz. Vamos resolver utilizando o método da eliminação:

1. Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para eliminar o coeficiente de x na segunda equação:

2x + 2y - 4z = 8

2(x + y - 2z) = 2(4)

2x + 2y - 4z = 8

As duas primeiras equações continuam iguais, e a terceira equação é:

x + 3y + 4z = 10

2. Vamos somar a primeira equação com a segunda:

x + y - 2z = 4

2x + 2y - 4z = 8

-----------------

3x + 3y - 6z = 12

3. Agora, vamos subtrair a primeira equação da terceira:

x + y - 2z = 4

x + 3y + 4z = 10

------------------

2y + 6z = 6

4. Dividimos a última equação por 2:

y + 3z = 3

5. Agora, isolamos y na equação acima:

y = 3 - 3z

6. Agora, substituímos o valor de y encontrado na primeira equação:

x + (3 - 3z) - 2z = 4

x + 3 - 3z - 2z = 4

7. Simplificamos:

x - 5z = 1

8. Isolamos x:

x = 1 + 5z

Portanto, temos um sistema de equações paramétricas:

x = 1 + 5z

y = 3 - 3z

z = z

Agora podemos verificar as alternativas:

A) x = 2, y = 2 e z = 0:

x = 1 + 5(0) = 1

y = 3 - 3(0) = 3

z = 0

Essa combinação não satisfaz a primeira equação do sistema (x + y - 2z = 4), portanto, não é a solução do sistema.

B) O sistema não tem solução.

C) O sistema tem infinitas soluções, pois encontramos um conjunto de equações paramétricas que representa todas as possíveis soluções do sistema.

D) O sistema tem solução e ela é única.

E) x = 1, y = 1 e z = -1:

x = 1 + 5(-1) = -4

y = 3 - 3(-1) = 6

z = -1

Essa combinação não satisfaz as três equações do sistema, portanto, não é a solução do sistema.

Portanto, a alternativa correta é a letra C) O sistema tem infinitas soluções.

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