[tex]3 \sin^2(e^x)-2\sqrt{3} \cdot \sin(e^x) \cdot \cos(e^x) - 3 \cos^2(e^x) = 0 \\ \\ - 3 \cos(2e {}^{x} ) - \sqrt{3} \sin(2e {}^{x} ) = 0 \\ \\ - \sqrt{3} \sin(2e {}^{x} ) = 3 \cos(2e {}^{x} ) \\ \\ \frac{ \sin(2e {}^{x} )}{ \cos(2e {}^{x} )} = - \frac{3}{ \sqrt{3} } \\ \\ \tg(2e {}^{x} ) = - \sqrt{3} \\ \\ 2e {}^{x} = \arctg( - \sqrt{3} ) \\ \\ e {}^{x} = \frac{ \arctg( - \sqrt{3}) }{2} \\ \\ e {}^{x} = \frac{ - \frac{\pi}{3} }{2} \\ \\ x = \ln \left( - \frac{\pi}{6} \right)[/tex]

A solução para a equação original com o logaritmo natural é:

y = ln(n * π/2 - π/6), onde n = 1, 2, 3, ...

Equação exponencial

Vamos primeira fazer uma substituição e^x = y e lembrar das seguintes relações:

• sen²(y) + cos²(y) = 1
• sen(2y) = 2 * sen(y) * cos(y)

Agora, simplifiquemos a expressão:

3 * sen²(y) - 3 * cos²(y) - (2√3) * sen(y) * cos(y)

Usando a identidade 1, podemos substituir sen²(y) por 1 - cos²(y):

3 * (1 - cos²(y)) - 3 * cos²(y) - (2√3) * sen(y) * cos(y)

Distribuindo o 3 na primeira parcela:

3 - 3 * cos²(y) - 3 * cos²(y) - (2√3) * sen(y) * cos(y)

Simplificando:

3 - 6 * cos²(y) - (2√3) * sen(y) * cos(y)

Agora, usando a identidade 2, podemos substituir 2 * sen(y) * cos(y) por sen(2y):

3 - 6 * cos²(y) - √3 * sen(2y) = 0

Substituir cos²(y) por (cos(2y) + 1)/2 na expressão:

3 - 6 * (cos(2y) + 1)/2 - √3 * sen(2y) = 0

Substituir cos²(y) por (cos(2y) + 1)/2 na expressão:

3 - 6 * (cos(2y) + 1)/2 - √3 * sen(2y) = 0

Simplificando a expressão:

-3 * cos(2y) - √3 * sen(2y) = 0

Isolando sen(2y) na equação:

-√3 * sen(2y) = 3 * cos(2y)

Dividindo tudo por cos(2y) ficamos com:

tg(2y) = -√3

Encontrar o ângulo cuja tangente é -√3 no primeiro quadrante:

2y = -π/3 + n * π (n é um número inteiro)

Dividir toda a equação por 2:

y = -π/6 + n * π/2

Agora temos a solução geral para a equação dada: y = -π/6 + n * π/2, onde n é um número inteiro. No entanto, a exponencial não pode ser negativa, então vamos encontrar os valores de n que tornam o argumento da função ln (logaritmo natural) positivo.

A condição para que o argumento de ln seja positivo é:

n * π/2 - π/6 > 0

Agora, vamos resolvendo essa desigualdade:

n * π/2 > π/6

n > π/6 * 2/π

n > 1/3

Portanto, os valores inteiros de n que tornam o argumento de ln positivo são n = 1, 2, 3, ...

Saiba mais sobre Equação exponencial:https://brainly.com.br/tarefa/159546
#SPJ1