Tendo o conhecimento necessário sobre matrizes e sistemas lineares, concluímos que o valor da incógnita b em função de a é:

                                            [tex]\Large\boxed{\boxed{\bf b = 2a}}~~\checkmark[/tex]

E que o conjunto solução do sistema para a = 1/2 é:

          [tex]\Large\boxed{\boxed{\bf S = \left\{\left(\dfrac{15\alpha}{16}\:;\:\alpha\:;\:-\dfrac{17\alpha}{16}\right) \in \mathbb{R}^3\:;\:\alpha \in \mathbb{R} \right\}}}~~\checkmark[/tex]

Resolvendo a questão proposta:

Dados [tex]\sf a\:;\:b \in \mathbb{R}^+[/tex], temos o seguinte sistema nas variáveis x ; y e z:

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -ax + by + az = 0 \\ \sf b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \\ \sf 4a^2x + a^3y + b^2z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

Tal que o sistema admite solução além da trivial.

Para que um sistema homogêneo apresente solução além da trivial, ele deve ser possível e indeterminado, logo o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a 0 (zero).

Sendo assim, montando uma matriz D tal que det D = 0 com os coeficientes do sistema linear apresentado, temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ D = \left[\begin{array}{ccc}\sf -a&\sf b&\sf a \\\sf b^2&\sf a^3&\sf 4a^2\\\sf 4a^2&\sf a^3&\sf b^2\end{array}\right] ~~~~~~\left(i\right)}$}[/tex]

Pela Regra de Sarrus, em (i), temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ det\left(D\right) = d_{11} \cdot d_{22} \cdot d_{33} + d_{12} \cdot d_{23} \cdot d_{31} + d_{13} \cdot d_{21} \cdot d_{32} }$}\\\\ \Large\text{${\sf ~~~~~~~~~~~~~~~~- d_{13} \cdot d_{22} \cdot d_{31} - d_{11} \cdot d_{23} \cdot d_{32} - d_{12} \cdot d_{21} \cdot d_{33}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ det\left(D\right) = \left(-a\right) \cdot a^3 \cdot b^2 + b \cdot 4a^2 \cdot 4a^2 + a \cdot b^2 \cdot a^3 }$}\\\\ \Large\text{${\sf ~~~~~~~~~~~~~~~~~- a \cdot a^3 \cdot 4a^2 - \left(-a\right) \cdot 4a^2 \cdot a^3 - b \cdot b^2 \cdot b^2}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ det\left(D\right) = -a^4b^2 + 16a^4b + a^4b^2 - 4a^6 + 4a^6 - b^5}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ det\left(D\right) = 16a^4b - b^5}$}[/tex]

Substituindo det D por 0 (zero), temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ det\left(D\right) = 16a^4b - b^5}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 16a^4b - b^5 = 0}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 16a^4b = b^5}$}[/tex]

Divida ambos os lados da equação por b:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 16a^4b = b^5}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \dfrac{16a^4b}{b} = \dfrac{b^5}{b}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ \dfrac{16a^4\slash\!\!\!b}{\slash\!\!\!b} = \dfrac{b^4 \cdot \slash\!\!\!b}{\slash\!\!\!b}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 16a^4 = b^4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b^4 = 16a^4}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = \sqrt[\sf 4]{\sf 16a^4} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = \sqrt[\sf 4]{\sf 2^4a^4} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = \sqrt[\sf 4]{\sf \left(2a\right)^4} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = \sqrt[\sf \slash\!\!\!4]{\sf \left(2a\right)^{\slash\!\!\!4}} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = 2a ~~~~~~\left(ii\right)}$}[/tex]

Veja que em (ii) temos o "valor" de b em função de a, o que já conclui a primeira etapa da questão. Agora resta obter o conjunto solução do sistema para a = 1/2...

Se a = 1/2, então b será...

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ b = 2a}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = 2 \cdot \dfrac{1}{2} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = \slash\!\!\!2 \cdot \dfrac{1}{\slash\!\!\!2} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ b = 1 ~~~~\left(iii\right)}$}[/tex]

Ao substituir os valores de a e b no sistema original, temos:

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -ax + by + az = 0 \\ \sf b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \\ \sf 4a^2 + a^3y + b^2z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 \\\\ \sf x + \left(\dfrac{1}{2}\right)^3y + 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2z = 0 \\\\ \sf 4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2x + \left(\dfrac{1}{2}\right)^3y + z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + 4 \cdot \dfrac{1}{4}z = 0 \\\\ \sf 4 \cdot \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

Duas das equações lineares do sistema são iguais, então podemos descartar uma delas:

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 ~~~~~~\left(iv\right) \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 ~~~~~~~~~~\left(v\right)\end{cases} }$}[/tex]

Multiplique ambos os lados da equação (iv) por 2 e ambos os lados da equação (v) por 8. Isso será feito para tirar as frações e trabalhar melhor com as igualdades apresentadas:

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z = 0 \\\\ \sf x + \dfrac{1}{8}y + z = 0 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}x + y + \dfrac{1}{2}z\right) = 0 \cdot 2 \\\\ \sf 8 \cdot \left(x + \dfrac{1}{8}y + z\right) = 0 \cdot 8 \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -x + 2y + z = 0 ~~~~\left(vi\right) \\\\ \sf 8x + y + 8z = 0 ~~~~\left(vii\right) \end{cases} }$}[/tex]

Como o sistema é possível e indeterminável, ao menos uma das variáveis será uma variável livre, ou seja, ela terá valor livre no campo real sem depender das outras ou ter um valor fixo, para isso, podemos fazer resolver o sistema utilizando substituição, ou seja, isolando x em (vi) e substituindo em (vii):

[tex]\Large\text{${\sf \begin{cases}\sf -x + 2y + z = 0 ~~~\rightarrow ~~~ \underline{\sf x = 2y + z} ~~~~\left(viii\right) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\swarrow\\ \sf 8x + y + 8z = 0 ~~~~\longleftarrow \end{cases} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 8 \cdot \left(2y + z\right) + y + 8z = 0}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 16y + 8z + y + 8z = 0}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 17y + 16z = 0}$}[/tex]

Se isolarmos z, temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ 17y + 16z = 0}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ 16z = -17y}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ z = -\dfrac{17y}{16} ~~~~\left(ix\right)}$}[/tex]

O objetivo de ter isolado z em (ix) foi para escolher y como a variável livre, por isso substituiremos ela por [tex]\alpha[/tex] e calcularemos z e x em função de [tex]\alpha[/tex]:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ z = -\dfrac{17y}{16} }$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ z = -\dfrac{17\alpha}{16} ~~~~\left(x\right)}$}[/tex]

-----------------------------------------------

Por (viii), temos:

[tex]\Large\text{${\sf \Longrightarrow ~ x = 2y + z}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = 2\alpha - \dfrac{17\alpha}{16}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{32\alpha}{16} - \dfrac{17\alpha}{16}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{32\alpha - 17\alpha}{16}}$}[/tex]

[tex]\Large\text{${\sf \Longleftrightarrow ~ x = \dfrac{15\alpha}{16} ~~~~\left(xi\right)}$}[/tex]

Assim, por (x) e (xi), o conjunto solução do sistema para a = 1/2 e b = 1 em função de [tex]\sf y = \alpha[/tex] na forma de terno ordenado (x ; y ; z) é:

             [tex]\Large\boxed{\boxed{\bf S = \left\{\left(\dfrac{15\alpha}{16}\:;\:\alpha\:;\:-\dfrac{17\alpha}{16}\right) \in \mathbb{R}^3\:;\:\alpha \in \mathbb{R} \right\}}}[/tex]

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Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.

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