Resposta:

x^x = 3^(x+9 )

log₃  x^x = log₃ 3^(x+9 )

x * log₃  x  =( x+9)  * log₃ 3

x * log₃  x  =( x+9)  * 1

x * log₃  x  = x + 9

x* [ log₃  x -1] = 9

x=9   e   log₃  x - 1 =1

as duas tem que ser verdadeiras

fazendo x=9      

==>    log₃  9 - 1 =1

==>     log₃  3² - 1 =1

==>    2*  log₃  3- 1 =1

==>  2*1-1 =1   é verdadeira

Podemos afirmar que x = 9 é uma solução  do problema

x=3  e log₃  x - 1 =3

fazendo x=3

==>   log₃  3 - 1 =3  

==> 0 = 3  ..falso

x=1  e log₃  x - 1 =9

fazendo x=1

==>   log₃  1 - 1 =9

==> -1 = 9  ..falso

Encontramos uma solução Real , mas nada podemos afirmar , ainda, em relação das soluções Complexas.

x=9   é uma resposta

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial

Dada a Equação [tex]\sf{x^x~=~3^{x+9} }\\[/tex]

[tex]\sf{ x^x~=~3^x*3^9 }\\[/tex]

[tex]\iff\sf{ x^x*3^{-x} ~=~3^9 } \\[/tex]

[tex]\iff\sf{ \left(\dfrac{x}{3}\right)^{x}~=~3^9 }\\[/tex]

vamos aplicar logaritmos para ambos membros:

[tex]\iff\sf{ \ln\left(\dfrac{x}{3}\right)^x~=~\ln\left(3^9\right) } \\[/tex]

Aplicando propriedades dos logaritmos teremos:

[tex]\iff\sf{ x\ln\left(\dfrac{x}{3}\right) ~=~9\ln(3) } \\[/tex]

Vamos multiplicar ambos membros por [tex]\dfrac{1}{3}\\[/tex] :

[tex]\iff \sf{ \dfrac{x}{3}*\ln\left(\dfrac{x}{3}\right)~=~\dfrac{9}{3}\ln(3)~=~3\ln(3) } \\[/tex]

[tex]\iff\sf{ \ln\left(\dfrac{x}{3}\right)*e^{\ln\left(\frac{x}{3}\right)}~=~\ln(3)*e^{\ln(3)} } \\[/tex]

Vou lhe apresentar agora a função [tex]\omega \\[/tex] de Lambert :

[tex]\boxed{\boxed{\sf{ \omega\left(u*e^u\right)~=~u } } } \\[/tex]

Então vamos aplicar o função de LAMBERT em ambos membros:

[tex]\iff\sf{ \omega\left[ \ln\left(\dfrac{x}{3}\right)*e^{ \ln\left(\frac{x}{3}\right) } \right] ~=~\omega\left( \ln(3)*e^{ \ln(3) } \right) } \\[/tex]

[tex]\Longrightarrow\sf{ \ln\left(\dfrac{x}{3}\right) ~=~\ln(3) } \\[/tex]

[tex]\Longrightarrow\sf{ \dfrac{x}{3}~=~3 } \\[/tex]

[tex]\Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf{\green{ x~=~9 }}}} \\[/tex]

Espero ter ajudado Bastante!)

UEM(MOÇAMBIQUE)-DMI