Resposta:

[tex]{y=\dfrac{(C-x)(x+1)}{1-x} }[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex](x^2 -1)\frac{dy}{dx}+2y =(x+1)^2[/tex]

Equação linear:

[tex]\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)[/tex]  

Solução:

[tex]y\cdot e^{\int{P} \, dx}= \displaystyle \int {f(x)\cdot e^{\int{P} \, dx}} \, dx +C[/tex]

Então, reorganizando:

[tex]\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2y}{(x^2 -1)} =\dfrac{(x+1)^2}{(x^2 -1)}[/tex]

Produto notável:

[tex]\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2y}{(x^2 -1)} =\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}[/tex]

[tex]\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2y}{(x^2 -1)} =\dfrac{(x+1)}{(x -1)}[/tex]

Logo,

[tex]P(x) = \dfrac{2}{x^2-1}[/tex]

Então, o fator integrante é:

[tex]e^{\int{P} \, dx} = e^{\int{\frac{1}{x^2-1}} \, dx}[/tex]

Resolvendo a integral:

[tex]\displaystyle \int{\frac{1}{x^2-1}} \, dx = \ln \dfrac{1-x}{x+1}+C[/tex]

Então, o fator integrante fica:

[tex]e^{\int{P} \, dx} = e^{\ln\frac{1-x}{x+1}}=\dfrac{1-x}{x+1}[/tex]

Logo, a solução é:

[tex]y\cdot \dfrac{1-x}{x+1} = \displaystyle \int {\dfrac{x+1}{x-1}\cdot \frac{1-x}{x+1}} \, dx +C[/tex]

[tex]y\cdot \dfrac{1-x}{x+1} = \displaystyle \int {\dfrac{1-x}{x-1}} \, dx +C[/tex]

Resolvendo a integral:

[tex]\displaystyle \int {\dfrac{1-x}{x-1}} \, dx = -x+C[/tex]

Portanto:

[tex]y\cdot \dfrac{1-x}{x+1} = -x +C[/tex]

[tex]\boxed {y=\dfrac{(C-x)(x+1)}{1-x} }[/tex]