A primitiva da integral é

[tex]\Large\text{$\boxed{ \dfrac{x^6}{12} +\dfrac{\ln(x)}{2}+C} $}[/tex]

• Mas, como chegamos nesse resultado ?

Bem precisamos achar a primitiva da seguinte  função  

[tex]\Large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 }dx $}[/tex]

Perceba que pra achar a primitiva antes temos que derivar uma certa função, so que a questão não nos da a função [tex]Y(x)[/tex] e sim uma equação de duas variáveis

  [tex]\large\text{$8y-\left(\dfrac{x^6+2}{x^2} \right)=0$}[/tex]

Então pra começarmos a resolver a integral temos que transforma essa equação em uma função de [tex]Y(x)[/tex], para fazer isso basta isolar Y na equação e teremos nossa função

[tex]\large\text{$8y-\left(\dfrac{x^6+2}{x^2} \right)=0$}\\\\\\\large\text{$8y=\left(\dfrac{x^6+2}{x^2} \right)$}\\\\\\\large\text{$y=\left(\dfrac{x^6+2}{x^2} \right)\cdot \dfrac{1}{8} $}\\\\\\\large\text{$\boxed{y=\left(\dfrac{x^6+2}{8x^2} \right)}$}[/tex]

Tendo nossa função  agora vamos deriva-la para em seguida substituir na integral

[tex]\large\text{$y=\left(\dfrac{x^6+2}{8x^2} \right)$}\\\\\\\large\text{$\dfrac{dy}{dx} =\left(\dfrac{6x^5\cdot 8x^2-(x^6+2)\cdot 16x}{(8x^2)^2} \right)$}[/tex]

Essa é a nossa derivada agora só vou simplificar ela

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} =\left(\dfrac{48x^7-16x^7-32x}{64x^4} \right)$}[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} =\left(\dfrac{32x^7-32x}{64x^4} \right)$}\\[/tex]

[tex]\large\text{$\dfrac{dy}{dx} =\left(\dfrac{32x\cdot (x^6-1)}{64x^4} \right)$}[/tex]

[tex]\large\text{$\boxed{\dfrac{dy}{dx} =\left(\dfrac{ x^6-1}{2x^3} \right)}$}[/tex]

Bem agora que temos nossa deriva, vamos substituir na integral e encontrar  sua primitiva

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 }dx $}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\left(\frac{x^6-1}{2x^3} \right)^2 }dx $}[/tex]

Bem, primeiro vamos resolver essa potencia, aplicando propriedade de potência

[tex]\large\text{$\left(\dfrac{A}{B}\right)^2=\dfrac{A^2}{B^2} $}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\left(\frac{x^6-1}{2x^3} \right)^2 }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\frac{\left(x^6-1\right)^2}{\left(2x^3\right)^2} }dx $}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\frac{x^{12}-2x^6+1}{4x^6} }dx $}[/tex]

Para facilitar os cálculos, vamos chamar 1 de [tex]\dfrac{4x^6}{4x^6}[/tex] por que ai os denominadores vão ser iguais e não teremos que fazer MMC

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{1+\frac{x^{12}-2x^6+1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\dfrac{4x^6}{4x^6} +\frac{x^{12}-2x^6+1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{4x^6+x^{12}-2x^6+1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^{12}+2x^6+1}{4x^6} }dx $}[/tex]

Vamos decompor essa fração em varias usando a propriedade:

[tex]\large\text{$\dfrac{A+B+C}{D}=\dfrac{A}{D} +\dfrac{B}{D} +\dfrac{C}{D}$}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^{12}+2x^6+1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^{12}}{4x^6}+\frac{2x^6}{4x^6}+\frac{1}{4x^6} }dx $}[/tex]

Simplificando temos

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^{12}}{4x^6}+\frac{2x^6}{4x^6}+\frac{1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^6}{4} +\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6} }dx $}[/tex]

Agora perceba que nosso maior inimigo é essa raiz quadrada, então temos que de algum jeito tirar essa raiz quadrada do problema. para isso  vamos reescrever essa expressão como um produto notável

[tex]\large\text{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$}[/tex]

Vamos fazer nossa expressão virar isso. veja que temos [tex]\dfrac{x^6}{4}[/tex] na expressão simplificando isso temos

[tex]\large\text{$\left(\dfrac{x^3}{2} \right)^2$}[/tex]

então nosso A será [tex]\large\text{$\left(\dfrac{x^3}{2} \right)^2$}[/tex] substituindo em [tex]\large\text{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$}[/tex]  temos

[tex]\large\text{$\left(\dfrac{x^3}{2} +b\right)^2=\left(\dfrac{x^3}{2} \right)^2+2\cdot \dfrac{x^3}{2} \cdot b+b^2$}[/tex]

Precisamos encontrar o B

Veja que em [tex]\frac{x^6}{4} +\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6}[/tex] o nosso termo central é [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] então esse [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] tem que aparecer

[tex]\large\text{$2\cdot \dfrac{x^3}{2} \cdot b=\dfrac{1}{2} $}\\\\\\\large\text{$x^3 \cdot b=\dfrac{1}{2} $}\\\\\\\large\text{$\boxed{b=\dfrac{1}{2x^3}} $}[/tex]

Assim completamos o quadrado perfeito

[tex]\large\text{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$}\\\\\\\Large\text{$\left(\dfrac{x^3}{2} +\dfrac{1}{2x^3} \right)^2=\dfrac{x^6}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^6} $}[/tex]

Substituindo na integral temos

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\frac{x^6}{4} +\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^6} }dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\left(\frac{x^3}{2} +\frac{1}{2x^3} \right)^2 }dx $}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\sqrt{\left(\frac{x^3}{2} +\frac{1}{2x^3} \right)^2 }dx $}[/tex]

[tex]\large\text{$\displaystyle \int x^2\cdot \left(\frac{x^3}{2} +\frac{1}{2x^3} \right)dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int \left(\frac{x^5}{2} +\frac{1}{2x} \right)dx $}\\\\\\\large\text{$\displaystyle \int \frac{x^5}{2}dx +\int\frac{1}{2x} dx $}\\\\\\\Large\text{$\boxed{ \dfrac{x^6}{12} +\dfrac{\ln(x)}{2}+C} $}[/tex]

Assim achamos a primitiva da integral

A integral da função original é a soma das integrais dos termos:
[tex]\(\int x^2 \cdot \sqrt{\frac{x^{12} + 2x^6 + 1}{4x^6}} \, dx = \frac{x^6}{12} + \frac{1}{2} \cdot \ln|x| + C\)[/tex]

Integral de função

Para determinar o valor de y quando

[tex]\(8y - \frac{x^6 + 2}{x^2} = 0\)[/tex]

podemos resolver a equação para y. Vamos fazer isso:

[tex]\[8y - \frac{x^6 + 2}{x^2} = 0\][/tex]

Primeiro, vamos multiplicar toda a equação por x² para eliminar o denominador:

[tex]\[8yx^2 - (x^6 + 2) = 0\][/tex]

Agora, vamos isolar o termo y multiplicando toda a equação por [tex]\(\frac{1}{8}\)[/tex]:

[tex]\[y = \frac{x^6 + 2}{8x^2}\][/tex]

Agora, determinamos o valor de y em termos de x .

Para encontrar a derivada de y em relação a x, podemos usar as regras de diferenciação. Vamos derivar a expressão de y em relação a x:

[tex]\[y = \frac{x^6 + 2}{8x^2}\][/tex]

Vamos usar a regra do quociente para diferenciar a função:

[tex]\[\frac{dy}{dx} = \frac{(8x^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^6 + 2)) - ((x^6 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(8x^2))}{(8x^2)^2}\][/tex]

Agora, precisamos encontrar as derivadas dos termos individuais. A derivada de [tex]\(x^6 + 2\)[/tex] em relação a x é:

[tex]\[\frac{d}{dx}(x^6 + 2) = 6x^5\][/tex]

E a derivada de [tex]\(8x^2\)[/tex] em relação a x é:

[tex]\[\frac{d}{dx}(8x^2) = 16x\][/tex]

Substituindo esses valores na equação da derivada de y em relação a x:

[tex]\[\frac{dy}{dx} = \frac{(8x^2 \cdot 6x^5) - ((x^6 + 2) \cdot 16x)}{(8x^2)^2}\][/tex]

Agora simplificamos a expressão:

[tex]\[\frac{dy}{dx} = \frac{(48x^7 - 16x^7 - 32x)}{64x^4}\][/tex]

[tex]\[\frac{dy}{dx} = \frac{32x^7 - 32x}{64x^4}\][/tex]

Agora, podemos simplificar a fração dividindo ambos os termos por 32:

[tex]\[\frac{dy}{dx} = \frac{x^6 - 1}{2x^3}\][/tex]

Portanto, a derivada de y em relação a x é:

[tex]\(\frac{dy}{dx} = \frac{x^6 - 1}{2x^3}\)[/tex]

Para determinar a expressão

[tex]\(1 + \left(\frac{x^6 - 1}{2x^3}\right)^2\)[/tex]

primeiro vamos simplificar o termo dentro do parênteses:

[tex]\(\left(\frac{x^6 - 1}{2x^3}\right)^2\)[/tex]

Para elevar ao quadrado, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por si mesmos:

[tex]\(\left(\frac{x^6 - 1}{2x^3}\right)^2 = \frac{(x^6 - 1)^2}{(2x^3)^2}\)[/tex]

Agora, vamos expandir o quadrado do numerador:

[tex]\((x^6 - 1)^2 = (x^6 - 1)(x^6 - 1) = x^{12} - x^6 - x^6 + 1 = x^{12} - 2x^6 + 1\)[/tex]

E o quadrado do denominador:

[tex]\((2x^3)^2 = 4x^6\)[/tex]

Agora, substituímos esses resultados na expressão original:

[tex]\(1 + \left(\frac{x^6 - 1}{2x^3}\right)^2 = 1 + \frac{x^{12} - 2x^6 + 1}{4x^6}\)[/tex]

Agora, combinamos os termos:

[tex]\(1 + \frac{x^{12} - 2x^6 + 1}{4x^6} = \frac{4x^6 + x^{12} - 2x^6 + 1}{4x^6}\)[/tex]

Simplificando:

[tex]\(\frac{4x^6 + x^{12} - 2x^6 + 1}{4x^6} = \frac{x^{12} + 2x^6 + 1}{4x^6}\)[/tex]

Portanto, a expressão simplificada é

[tex]\(\frac{x^{12} + 2x^6 + 1}{4x^6}\)[/tex]

Para determinar a integral de [tex]\(x^2 \cdot \sqrt{\frac{x^{12} + 2x^6 + 1}{4x^6}}\)[/tex] em relação a x, primeiro podemos simplificar a expressão dentro da raiz:

[tex]\(\frac{x^{12} + 2x^6 + 1}{4x^6}\)[/tex]

Vamos fatorar a expressão dentro da raiz em duas parcelas:

[tex]\((x^{12} + 2x^6 + 1) = (x^6 + 1)^2\)[/tex]

Substituindo isso na integral:

[tex]\(\int x^{2} \cdot \sqrt{\frac{(x^6 + 1)^2}{4x^6}} \, dx\)[/tex]

Agora, podemos simplificar o termo dentro da raiz:

[tex]\(\sqrt{\frac{(x^6 + 1)^2}{4x^6}} = \frac{x^6 + 1}{2x^3}\)[/tex]

Agora, a integral fica:

[tex]\(\int x^{2} \cdot \frac{x^6 + 1}{2x^3} \, dx\)[/tex]

Vamos separar os termos da fração para facilitar a integração:

[tex]\(\int \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 \cdot x^6}{x^3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{x^3} \, dx\)[/tex]

Agora, simplificamos os termos:

[tex]\(\int \frac{1}{2} \cdot x^{2 + 6 - 3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2 - 3} \, dx\)[/tex]

[tex]\(\int \frac{1}{2} \cdot x^5 + \frac{1}{2} \cdot x^{-1} \, dx\)[/tex]

Agora, integramos termo a termo:

[tex]\(\int \frac{1}{2} \cdot x^5 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^6}{6} + C_1 = \frac{x^6}{12} + C_1\)[/tex]

[tex]\(\int \frac{1}{2} \cdot x^{-1} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \ln|x| + C_2\)[/tex]

Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Saiba mais sobre Integral:https://brainly.com.br/tarefa/23849286
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