Explicação passo-a-passo:

Para verificar se a Equação [tex]\sf{ \nabla \varphi ~=~F }\\[/tex] onde [tex]\sf{F}\\[/tex] é o campo vectorial [tex]\sf{ F(x,y,z)~=~2xyz^3\vec{i}-\left(x^2z^3+2y\right)\vec{j}+3x^2yz^2\vec{k} } \\[/tex] vamos precisar saber se o campo é conservativo ou não. Se for conservativo então existirá uma função [tex]\varphi\left(x,y,z\right) \\[/tex] tal que [tex]\sf{\nabla\varphi~=~F } \\[/tex] .

• Para verificar se [tex]\sf{F}\\[/tex] é conservativo ou não . vamos determinar o rotacional de F .
• Se o rotacional for nulo então F é conservativo, caso contrário não é, e a Equação dada não terá solução.

[tex]\sf{rot\left(\vec{F}\right)}~=~\begin{vmatrix} \vec{i}~&~\vec{j}~&~\vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x}~&~\dfrac{\partial}{\partial y}~&~\dfrac{\partial}{\partial z} \\ 2xyz^3~&~-x^2z^3-2y~&~3x^2yz^2 \end{vmatrix} \\[/tex]

[tex]\sf{ rot\left(\vec{F}\right)~=~\vec{i}*\left[\dfrac{\partial}{\partial y}\left(3x^2yz^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial z}\left(-x^2z^3-2y\right)\right]-\vec{j}*\left[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(3x^2yz^2\right)-\dfrac{\partial}{\partial z}\left(2xyz^3\right)\right]+\vec{k}*\left[\dfrac{\partial }{\partial x}\left(-x^2z^3-2y\right)-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(2xyz^3\right)\right] }\\[/tex]

[tex]\sf{rot\left(\vec{F}\right)~=~(3x^2y^2+3x^2z^2)\vec{i}-(6xyz^2-6xyz^2)\vec{j}+(-2xz^3-2xz^3)\vec{k} } \\[/tex]

[tex]\boxed{\sf{rot\left(\vec{F}\right)~=~6x^2y^2\vec{i}-4xz^3\vec{k} }}\\[/tex]

Como [tex]\sf{rot\left(\vec{F}\right)\neq \vec{0} } \\[/tex]

Então F não é conservativo, logo F não admite POTENCIAL [tex]\varphi\left(x,y,z\right)\\[/tex] tal que [tex]\sf{ \nabla\varphi ~=~F } \\[/tex]

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE!)

UEM(MOÇAMBIQUE)-DMI