Calculo Otimização: Considere a função f(x)=9-[tex]x^{2}[/tex] somente para f(x)≥0
Seja R(x) igual à área do retângulo sombreado que tem dois vértices no eixo x e dois vértices no gráfico de f, como mostrado.
Em qual argumento x R(x) atinge seu máximo absoluto?
Seja R(x) igual à área do retângulo sombreado que tem dois vértices no eixo x e dois vértices no gráfico de f, como mostrado.
Em qual argumento x R(x) atinge seu máximo absoluto?
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Resposta:
• A área da figura pode ser simbolizada por:
R(x) = 2x × f(x)
• Como f(x) = 9 - x²:
R(x) = 2x × (9 - x²)
R(x) = 18x - 2x³
• Calculando pontos críticos dela:
R'(x) = 18 - 6x²
0 = 18 - 6x²
6x² = 18
x² = 3
x = ± sqrt(3)
• Calculando a 2ª derivada para saber se os pontos são de mínimo, de máximo ou de inflexão:
R"(x) = - 12x
-> Substituindo x por sqrt(3) e - sqrt(3):
I: R"(sqrt(3)) = - 12 × sqrt(3)
Como o resultado foi negativo, esse ponto é de máximo. Portanto, o valor de x para que a região tenha o máximo de área é x = sqrt(3). Alternativa c)