Boa tarde.

Vamos, por contradição, demonstrar essa propriedade. Para isso, vamos primeiramente assumir que um número racional (a / b) multiplicado por um número irracional que vou chamar de c, é racional. Essa é a nossa premissa inicial. Então temos essa igualdade:

(a / b) . c = (x / y)

onde x e y são números inteiros, e a fração x / y, logicamente, é um número racional. Isolando o número c, temos:

c = (x / y) . (b / a)

c = xb/ya.

a, b, x e y são números inteiros, logo, o produto xb e ya são valores inteiros também, e logicamente, a razão entre eles também vai ser um racional. E chegamos a uma conclusão:

O valor c, obrigatoriamente é um número racional pelo que acabamos de concluir. A premissa inicial está errada, pois assumimos que c é irracional. Logo, temos que o produto de (a / b) . c é um número racional, pois para que isso aconteça c também precisa ser racional. Portanto, para que o contrário acontecesse, ou seja, para que o produto resultasse em um irracional, o número c precisa ser irracional.

E, caso o número racional seja 0, o produto de 0 por qualquer coisa, resulta em 0, e não seria diferente com um número irracional. Logo:

0 . c = 0.