VALENDO 25 PONTOS
Escreva as equações do plano que contém a reta x = 1 + 8λ, y = 5 − 6λ, z = −1 − 2λ e a
reta interseção dos planos x + y + z = 2 e 2x + 3y − z = 4.
Escreva as equações do plano que contém a reta x = 1 + 8λ, y = 5 − 6λ, z = −1 − 2λ e a
reta interseção dos planos x + y + z = 2 e 2x + 3y − z = 4.
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Lista de comentários
Primeiramente, vamos verificar se a reta dada está na interseção entre os planos (retas coincidentes):
Substituindo-se o valor de x, y e z da reta em ambas as equações dos planos:
Veja, então, que não um valor de lambda que satisfaça tal equação, portanto, a reta é PARALELA ao plano citado. (sem ponto comum)
Verificando com relação ao outro plano:
Sendo paralela a ambos os planos, será paralela também a sua interseção.
Verificando:
Da primeira reta tiramos um vetor diretor:
A interseção entre dois planos possui um vetor diretor obtido pelo produto vetorial entre as normais dos planos. Então:
Agora que temos dois vetores 'diretores' do plano, podemos fazer o produto vetorial entre eles e obter o vetor normal do plano. Assim:
O motivo do produto vetorial ter dado o vetor nulo é pelo fato de ambos os vetores diretores são PARALELOS entre si (veja que são vetores proporcionais), isto é,
Então, para obtermos o que se pede devemos tomar outro caminho.
Encontremos a equação da reta interseção dos planos:
Já sabemos o seu vetor diretor, (-4,3,1), então, basta encontrarmos um ponto desta reta:
Multiplicando-se a primeira equação por -2 e somando-se à segunda:
Substituindo-se na primeira:
Então:
Veja que bate com o vetor diretor já encontrado anteriormente.
Fácil obter um ponto agora da reta: (beta = 0)
Agora, para obter a equação do plano, irei obter um ponto da outra reta: (lambda = 0)
E, com este ponto, formar um vetor:
Este vetor pode ser utilizado para efetuar o produto vetorial com o vetor diretor da reta, já que não é paralelo à mesma, então:
Então, o vetor normal ao plano solicitado foi encontrado. Como temos um ponto deste plano (2,0,0):
Verificando para outro ponto:(1,5,-1)
Espero ter ajudado! (UFA)