Define-se custo médio de produção Cm(x) o valor de produção de uma peça de um lote de x peças. Assim, o custo médio é calculada dividindo-se o custo total pelo número de peças produzidas: Cm = C(x)/x. Se o custo médio de produção de certa mercadoria é dado por Cm(x) = -x + 3 + 10/x e a função receita é dada por R(x) = 10 - 2x² (x é dado em milhares):
a) obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo;
b) classifique a função Cm(x) quanto ao crescimento no intervalo [1,4]. O que você pode concluir após analisar o crescimento da função?
A) A função lucro é dada pela diferença da função receita pela função custo:
Para saber qual é o número de peças produzidas para se obter lucro máximo, faremos assim:
I) DEDUZIR O VALOR DE C(x) O problema nos informa que o que implica que:
logo
II) Deduzir a função lucro: Agora que obtemos a função custo, podemos facilmente deduzir a função lucro:
III) Descobrir o valor de peças para obter lucro máximo. Observando o gráfico de L(x) (anexado abaixo), observamos que há um ponto onde ele tem um valor máximo. Esse ponto é um ponto de máximo global, um ponto crítico da função onde a reta tangente é igual a zero. Para calcular o valor de x nesse ponto, precisaremos calcular a derivada de L(x) e igualá-la a zero:
Siga os passos:
(no passo i, temos a propriedade de comutatividade das derivadas)
agora precisamos igualar a derivada do lucro a zero para saber onde a reta tangente é zero:
Se x é dado em milhões:
então com 1500000 peças se obterá o lucro máximo. Ou seja, x = 1,5
b)
Se observamos o gráfico esboçado de Perceberemos que a função é decrescente nesse intervalo, então o custo médio diminui quando aumentamos o número de itens produzidos.
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acidbutter
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Para obter o número de peças produzidas para que o lucro seja máximo, precisamos encontrar a função lucro, que é definida como a diferença entre a receita e o custo.
Se o custo médio é o custo dividido pela quantidade de produtos, então:
C(x) = Cm(x).x
C(x) = (-x + 3 + 10/x).x
C(x) = -x² + 3x + 10
A função lucro será:
L(x) = 10 - 2x² - (-x² + 3x + 10)
L(x) = -x² - 3x
Derivando a função e igualando a zero, obtemos seus pontos críticos:
dL(x)/dx = -2x - 3
-2x - 3 = 0
2x = 3
x = 1,5 mil peças
Observando o gráfico da função no intervalo [1,4], notamos que a mesma é decrescente, então o custo médio diminui ao aumentar a quantidade de peças produzidas.
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A)A função lucro é dada pela diferença da função receita pela função custo:
Para saber qual é o número de peças produzidas para se obter lucro máximo, faremos assim:
I) DEDUZIR O VALOR DE C(x)
O problema nos informa que o que implica que:
logo
II) Deduzir a função lucro:
Agora que obtemos a função custo, podemos facilmente deduzir a função lucro:
III) Descobrir o valor de peças para obter lucro máximo. Observando o gráfico de L(x) (anexado abaixo), observamos que há um ponto onde ele tem um valor máximo. Esse ponto é um ponto de máximo global, um ponto crítico da função onde a reta tangente é igual a zero. Para calcular o valor de x nesse ponto, precisaremos calcular a derivada de L(x) e igualá-la a zero:
Siga os passos:
(no passo i, temos a propriedade de comutatividade das derivadas)
agora precisamos igualar a derivada do lucro a zero para saber onde a reta tangente é zero:
Se x é dado em milhões:
então com 1500000 peças se obterá o lucro máximo. Ou seja, x = 1,5
b)
Se observamos o gráfico esboçado de
Perceberemos que a função é decrescente nesse intervalo, então o custo médio diminui quando aumentamos o número de itens produzidos.
O número de peças para o lucro máximo é 1500.
Para obter o número de peças produzidas para que o lucro seja máximo, precisamos encontrar a função lucro, que é definida como a diferença entre a receita e o custo.
Se o custo médio é o custo dividido pela quantidade de produtos, então:
C(x) = Cm(x).x
C(x) = (-x + 3 + 10/x).x
C(x) = -x² + 3x + 10
A função lucro será:
L(x) = 10 - 2x² - (-x² + 3x + 10)
L(x) = -x² - 3x
Derivando a função e igualando a zero, obtemos seus pontos críticos:
dL(x)/dx = -2x - 3
-2x - 3 = 0
2x = 3
x = 1,5 mil peças
Observando o gráfico da função no intervalo [1,4], notamos que a mesma é decrescente, então o custo médio diminui ao aumentar a quantidade de peças produzidas.
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