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AdrianaArauzo
@AdrianaArauzo
January 2020
1
280
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1) Calcule os valores:
a) Considere todos os números formados usando os quatro algarismos 1, 2, 3 e 4. Formamos a seguinte expressão numérica:
S₄ = 4321 − 4312 + 4231 − 4213 + . . . + 1243 − 1234,
na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais + e − alternam-se ate o final. Calcule o valor de S₄.
b) De modo análogo, tomamos todos os números de nove algarismos distintos e n ´ ao nulos e formamos a expressão numérica:
S₉ = 987654321 − 987654312 + 987654231 − . . . − 123456789,
na qual os números são listados da esquerda para a direita do maior para o menor, e os sinais + e − alternam-se ate o final. Calcule o valor de S₉
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vladimir050
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A)Percebemos que :
S₄ =
4321 − 4312 + 4231 − 4213 + . . . + 1243 − 1234 =
21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34
Somando tudo :
S₄ = 21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34 =
9 + 18 + 27 + 9 + 18 + 9 = 90
Logo S₄ = 90
b)Podemos perceber que:
S₉ = 21 - 12 + 31 - 13 + .... + 89 - 89
Tambem podemos ver que cada uma das diferencas da um multiplo de 9 ,pois :
xy - yx = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y)
Logo :
S₄ =
21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 51 - 15 + 61 - 16 + 71 - 17 + 81 - 18 + 91 - 19 +32 - 23 + 42 - 24 + 52 - 25 + 62 - 26 + 72 - 27 + 82 - 28 + 92 - 29
.
.
.
87 - 78 + 97 - 79
98 - 89
=
9 + 18 + 27 + 36 + ... + 72
+9 + 18 + 27 + 36 + ... + 63
9 + 18 + 27 + 36 + ... + 54
.
.
.
9 + 18
9
=
324
252
+189
135
90
54
27
9
-------
1080
RESPOSTA : S₉ =
1080
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A)Percebemos que :S₄ = 4321 − 4312 + 4231 − 4213 + . . . + 1243 − 1234 =
21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34
Somando tudo :
S₄ = 21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 32 - 23 + 42 - 24 + 43 - 34 =
9 + 18 + 27 + 9 + 18 + 9 = 90
Logo S₄ = 90
b)Podemos perceber que:
S₉ = 21 - 12 + 31 - 13 + .... + 89 - 89
Tambem podemos ver que cada uma das diferencas da um multiplo de 9 ,pois :
xy - yx = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y)
Logo :
S₄ =
21 - 12 + 31 - 13 + 41 - 14 + 51 - 15 + 61 - 16 + 71 - 17 + 81 - 18 + 91 - 19 +32 - 23 + 42 - 24 + 52 - 25 + 62 - 26 + 72 - 27 + 82 - 28 + 92 - 29
.
.
.
87 - 78 + 97 - 79
98 - 89
=
9 + 18 + 27 + 36 + ... + 72
+9 + 18 + 27 + 36 + ... + 63
9 + 18 + 27 + 36 + ... + 54
.
.
.
9 + 18
9
=
324
252
+189
135
90
54
27
9
-------
1080
RESPOSTA : S₉ = 1080