Uma vari´avel aleat´oria X tem a fun¸c˜ao densidade dada por f(x) = e −x , x ≥ 0 0, x < 0 Encontre .... Pergunta de ideia deAprendermais10

January 2020 1 48 Report

Uma vari´avel aleat´oria X tem a fun¸c˜ao densidade dada por

f(x) =
e
−x
, x ≥ 0

0, x < 0

Encontre E
( e^2x/3)

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Niiya

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A densidade da variável aleatória X é dada por

$f(x)=\begin{cases}e^{-x},~~x\ge0\\0,~~~~~x~\textless~0\end{cases}$

A esperança de Y = g(X) é calculada por

$E[g(X)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$

Como $Y=g(x)=e^{2X/3}$ , temos que

$E[e^{2X/3}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{2x/3}f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}e^{2x/3}\cdot e^{-x}dx$

pois $f(x)=0$ para $x~\textless~0$

Portanto:

$E[e^{2X/3}]=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2x/3}e^{-x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=\int_{0}^{+\infty}e^{(2x/3)-x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=\int_{0}^{+\infty}e^{-x/3}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=3\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{3}e^{-(1/3)x}dx\\\\\\E[e^{2X/3}]=3\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx}$

Onde $h(x)$ é a densidade de uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $\frac{1}{3}$ . Como essa é uma integral de uma função densidade de probabilidade, então

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{3}e^{-(1/3)x}=\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx=1$

Logo,

$E[e^{2X/3}]=3\cdot1\\\\\boxed{\boxed{E[e^{2X/3}]=3}}$

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Niiya Se preferir que eu calcule a integral da maneira feita nos cursos de cálculo, me avise

Niiya Também há como resolver essa questão usando função geradora de momentos. Se quiser, também posso fazer

Aprendermais10 Valeu! muito bom!

Aprendermais10 Se puder calcular dessas formas, melhor ainda!

Niiya Não está dando pra editar :(

Niiya Acabou o prazo

Aprendermais10 Está bem! Valeu!