6) Resolva a integral e diga o método que está usando:.... Pergunta de ideia deLucasJairo

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6) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits { \frac{x-9}{(x+5)(x-2)} } \, dx$

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Resolução da questão, vejamos:

Vamos reescrever essa integral em frações parciais, observe:

$\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{x-9}{(x+5)(x-2)}~dx}}}=\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{2}{(x+5)}~dx-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-2)}~dx}}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{2~\cdot~\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x+5)}~dx-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-2)}~dx}}}}}}$

Para prosseguirmos com a resolução vamos utilizar a seguinte regra de integração:

$\Large{\boxed{\boxed{\mathbf{\displaystyle\int~\dfrac{1}{x+a}~dx}=\mathrm{ln}~|\mathbf{x+a}|}}}}}}}}}}}}}}}}$

Portanto, por dedução temos que:

$\mathsf{2~\cdot~\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x+5)}~dx-\displaystyle\int~\dfrac{1}{(x-2)}dx}} =\mathsf{2~\cdot~\textrm{ln}|x+5|-|x-2|+C}}}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\int~\dfrac{x-9}{(x+5)(x-2)}}~\mathbf{dx}=\mathbf{2~\cdot~\textrm{ln}|x+5|-|x-2|+C}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ~~\checkmark}}$

Espero que te ajude. '-'

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