6 - Uma seleção de futebol, convocou 22 jogadores, sendo 2 goleiros e 20 jogadores divididos em: 4 z.... Pergunta de ideia dePopeye1

Popeye1 @Popeye1

December 2019 1 73 Report

6 - Uma seleção de futebol, convocou 22 jogadores, sendo 2 goleiros e 20 jogadores divididos em: 4 zagueiros, 4 laterais, 8 Meio Campistas e 4 atacantes. Sabendo-se que joga SEMPRE: 1 goleiro, 2 laterais, 2 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes; com quantas formas diferentes, poderia-se armar um time?

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Lukyo

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Total de jogadores: 22

sendo

• 2 goleiros;
• 4 zagueiros;
• 4 laterais;
• 8 meio-campistas;
• 4 atacantes.

Para montar um time, precisamos escolher exatamente

• 1 goleiro;
• 2 zagueiros;
• 2 laterais;
• 4 meio-campistas;
• 2 atacantes.

—————

Primeiro, encontramos de quantos modos diferentes podemos escolher jogadores em cada posição, depois usamos o princípio multiplicativo.

• Goleiros:

Devemos escolher 1 goleiro entre 2 disponíveis:

$C_{2,\,1}=\dfrac{2!}{1!\cdot (2-1)!}\\\\\\ C_{2,\,1}=\dfrac{2!}{1!\cdot 1!}\\\\\\ C_{2,\,1}=2\cdot 1\\\\\\ C_{2,\,1}=2\textrm{~~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

• Zagueiros:

Devemos escolher 2 zagueiros entre 4 disponíveis:

$C_{4,\,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}\\\\\\ C_{4,\,2}=\dfrac{12}{2}\\\\\\ C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

• Laterais:

Devemos escolher 2 laterais entre 4 disponíveis:

$C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

• Meio-campistas:

Devemos escolher 4 meio campistas entre 8 disponíveis:

$C_{8,\,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot (8-4)!}\\\\\\ C_{8,\,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\\\\\\ C_{8,\,4}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}\\\\\\ C_{8,\,4}=70\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

• Atacantes:

Devemos escolher 2 atacantes entre 4 disponíveis:

$C_{4,\,2}=6\textrm{~possibilidades}\qquad\quad\checkmark$

—————

Dessa forma, pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras diferentes para montar um time é

$n=C_{2,\,1}\cdot C_{4,\,2}\cdot C_{4,\,2}\cdot C_{8,\,4}\cdot C_{4,\,2}\\\\ n=2\cdot 6\cdot 6\cdot 70\cdot 6$

$n=30240\textrm{~maneiras}$ <———— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

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