Resposta: Para resolver esse problema, podemos utilizar as propriedades dos pontos médios em um quadrado. Seja M o ponto médio do lado AB do quadrado ABCD.

A área de um quadrado é igual ao quadrado do comprimento do lado, ou seja, se a área do quadrado ABCD é 64 cm², então o lado AB mede √64 = 8 cm.

Sabemos que o ponto médio M divide o lado AB em duas partes iguais, cada uma medindo metade do lado, ou seja, AM = MB = 8/2 = 4 cm.

Agora, observe que o triângulo AMC é um triângulo retângulo, com ângulo reto em M. Isso acontece porque AM é metade de AB, e os ângulos de um quadrado são todos ângulos retos.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento MC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo AMC.

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b e c são os catetos do triângulo retângulo.

Vamos chamar MC de "a", AM de "b" e CM de "c".

MC² = AM² + AC²

MC² = (4 cm)² + (4 cm)²

MC² = 16 cm² + 16 cm²

MC² = 32 cm²

Para encontrar o valor de MC, tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação:

MC = √(32 cm²)

MC = √(16 cm² * 2)

MC = 4√2 cm

Portanto, a medida de MC é 4√2 cm. A resposta correta é:

e) 4√2 cm