Resposta:

Uma função quadrática pode ser escrita na forma f(x) = ax^2 + bx + c, onde a, b e c são constantes e a ≠ 0.

Sabemos que f(x1) < 0 e f(x2) > 0. Isso significa que a parábola que representa a função quadrática corta o eixo x em dois pontos: x1 e x2. Além disso, sabemos que a concavidade da parábola está voltada para cima, o que significa que o coeficiente a é positivo.

Com essas informações, podemos afirmar que:

a) f(x1) . f(x2) < 0, pois um dos valores é negativo e o outro é positivo.

b) x1 . x2 ≠ 0, pois ambos os valores podem ser diferentes de zero.

c) x1 . x2 = 0 não é verdadeira, pois se ambos fossem iguais a zero, a parábola cortaria o eixo x em apenas um ponto, o que contradiz o enunciado.

d) Como a parábola corta o eixo x em x1 e x2 e a concavidade está voltada para cima, podemos concluir que existe uma raiz real entre x1 e x2.

e) Não podemos afirmar que f(x1) + f(x2) = 0 com base nas informações fornecidas.

Portanto, a alternativa correta é a letra d) existe uma raiz entre x1 e x2.

Explicação passo a passo:

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Resposta:

Como f(x) é uma função quadrática, sua curva é uma parábola, e a função pode ter até duas raízes. Além disso, como f(x1) < 0 e f(x2) > 0, podemos concluir que a função tem pelo menos uma raiz entre x1 e x2.

Portanto, a opção correta é a letra d) existe uma raiz entre x1 e x2.

As outras opções não necessariamente são verdadeiras. Por exemplo, a opção a) f(x1) . f(x2) ≥ 0 não é verdadeira, pois f(x1) e f(x2) têm sinais diferentes, então sua multiplicação é negativa. A opção b) x1 . x2 ≠ 0 também não é necessariamente verdadeira, pois x1 e x2 podem ser ambos negativos ou ambos positivos. A opção c) x1 . x2 = 0 é falsa, pois se x1 e x2 fossem iguais a zero, f(x1) e f(x2) seriam ambos iguais a zero. E a opção e) f(x1) + f(x2) = 0 também não é necessariamente verdadeira, pois a soma de f(x1) e f(x2) pode ser diferente de zero.

Explicação passo a passo:

Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2, com a forma geral f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. A curva que representa essa função é uma parábola, que pode ter várias formas dependendo dos valores de a, b e c.

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, ou seja, seu ponto mais alto é o vértice e a função tem um valor máximo. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima, seu ponto mais baixo é o vértice e a função tem um valor mínimo.

Se f(x1) < 0 e f(x2) > 0, significa que a função tem valores negativos para x1 e valores positivos para x2. Como a função é contínua, ela deve passar por zero em algum ponto entre x1 e x2, ou seja, deve ter uma raiz nesse intervalo.

Isso ocorre porque, se a função não tivesse nenhuma raiz no intervalo, ela teria sempre o mesmo sinal em todo o intervalo, o que é impossível se f(x1) < 0 e f(x2) > 0. Por exemplo, se f(x) fosse sempre negativa no intervalo, f(x2) também seria negativa, o que contradiz a hipótese.

Assim, a opção correta é d) existe uma raiz entre x1 e x2. As outras opções não necessariamente são verdadeiras, como expliquei na minha resposta anterior.