Seja d = mdc(A,B). Dessa forma, existem números a,b primos entre si tais que

A = ad
B = bd

Isso implica que mmc(A,B) = mmc(ad, bd) = abd

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mdc(A-B, mmc(A,B)) = mdc( ad-bd, abd)

mdc(A-B, mmc(A,B)) = mdc( (a-b)d, abd)

mdc(A-B, mmc(A,B)) = d. mdc(a-b, ab) = d

Ou seja,

mdc(A-B, mmc(A,B)) = mdc(A,B)