Resposta:

Você está no caminho certo! Ao decompor o número em fatores, podemos ver que ele é da forma (2^24 - 1).(2^24 + 1), e podemos tentar verificar se um dos fatores é divisível por um número entre 60 e 70.

Começando pelo fator (2^24 - 1), podemos notar que ele é da forma a^2 - b^2, que pode ser fatorado como (a + b)(a - b). Neste caso, temos a = 2^12 e b = 1, e podemos escrever:

(2^24 - 1) = (2^12 + 1)(2^12 - 1)

O segundo fator (2^24 + 1) não pode ser fatorado dessa forma, mas podemos verificar se ele é divisível por algum número entre 60 e 70 testando a divisibilidade por cada um desses números. Uma outra estratégia é verificar se ele é divisível por algum primo que esteja entre 60 e 70.

Neste caso, podemos notar que 61 é um número primo e tentar dividir (2^24 + 1) por 61. Podemos usar o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que se p é um número primo e a é um número inteiro não divisível por p, então a^(p-1) - 1 é divisível por p. Como 2 é divisível por 61, podemos usar a equivalência 2^(61-1) ≡ 1 (mod 61) para obter:

2^60 ≡ 1 (mod 61)

Então, podemos elevar ambos os lados ao quadrado e obter:

2^120 ≡ 1 (mod 61)

Elevando agora ambos os lados a 2, obtemos:

2^121 ≡ 2 (mod 61)

Assim, podemos concluir que 61 não divide (2^24 + 1), pois o resto da divisão de (2^24 + 1) por 61 é 2.

Portanto, o fator (2^24 - 1) é divisível por um dos números entre 60 e 70, que é 63, pois 2^12 + 1 = 4097 é divisível por 63. O outro fator (2^24 + 1) não é divisível por nenhum número entre 60 e 70.