Resposta:

valor da expressão é 2.007.006, que corresponde à alternativa d).

Explicação:

Podemos reescrever a expressão dada como:

(2002² - 2001²) + (2000² - 1999²) + ... + (2² - 1²)

A diferença entre dois quadrados consecutivos pode ser fatorada como a soma e a diferença dos termos:

n² - (n - 1)² = (n + n - 1)(n - (n - 1)) = 2n - 1

Assim, podemos reescrever a expressão acima como:

(22002 - 1) + (22000 - 1) + ... + (2*2 - 1)

Isso é uma soma de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 2*2002 - 1 = 4003, a razão é -2, e o número de termos é 1001 (pois há 1001 pares de números na expressão original). Portanto, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética:

S = (a₁ + aₙ) * n / 2

S = (4003 + (-1997)) * 1001 / 2

S = 2006 * 1001

S = 2.007.006

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Resposta: letra d)

Explicação passo a passo:
Podemos reescrever a expressão como:

(2002² - 2001²) + (2000² - 1999²) + ... + (2² - 1²)

Podemos usar a identidade algébrica a² - b² = (a + b)(a - b) para simplificar cada termo:

(2002 + 2001)(2002 - 2001) + (2000 + 1999)(2000 - 1999) + ... + (2 + 1)(2 - 1)

Isso nos dá:

4003 + 3999 + 3995 + ... + 3

Podemos notar que essa é uma soma de uma P.A. de razão -4 e primeiro termo 4003. Usando a fórmula para a soma dos termos de uma P.A., temos:

S = [(a1 + an) * n] / 2

S = [(4003 + 3n) * (n/2)] / 2

S = (4003n + 3n²) / 4

Substituindo n por 500, que é o número de termos da P.A., temos:

S = (4003 * 500 + 3 * 500²) / 4 = 2.005.003

Portanto, a resposta é letra d) 2.005.003.