Para obter o núcleo da transformação linear T(x, y, z) = (x - y, x + y + z, x + 2z), precisamos encontrar os vetores (x, y, z) que são transformados em zero pela transformação.

Isso significa que, para esses vetores, aplicar a transformação T resultará em (0, 0, 0). Portanto, precisamos resolver o sistema de equações formado pelas seguintes condições:

x - y = 0

x + y + z = 0

x + 2z = 0

A partir dessas equações, podemos concluir que x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, os únicos vetores que são transformados em zero pela transformação T são os vetores (0, 0, 0) e (-1, 1, 1).

O núcleo da transformação linear T, portanto, é dado pelo conjunto de vetores {(0, 0, 0), (-1, 1, 1)}.

Para obter a inversa da transformação linear T(x, y, z) = (x - y, x + y + z, x + 2z), precisamos encontrar uma nova transformação linear T'(x, y, z) que, quando aplicada aos vetores transformados por T, resulte nos vetores originais.

Para isso, podemos tentar encontrar uma expressão para T'(x, y, z) que desfaça os efeitos da transformação T.

A partir da expressão para T(x, y, z), podemos concluir que x = (x - y) + y e z = (x + 2z) - 2z. Substituindo esses valores na expressão para a segunda componente de T(x, y, z), obtemos:

x + y + z = (x - y) + y + (x + 2z) - 2z

x + y + z = x + y + z

Portanto, a inversa da transformação linear T é dada por T'(x, y, z) = (x - y, x + y + z, x + 2z).