(a) S = (x, y, z) ∈ R³ | 2x + y - 3z = 0

Esse conjunto S é um subespaço vetorial de R³. Isso ocorre porque ele atende aos seguintes critérios:

O conjunto S contém a origem de R³, ou seja, o vetor (0, 0, 0).

Qualquer combinação linear de dois vetores de S também pertence a S. Por exemplo, se (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) pertencem a S, então (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2) também pertence a S, para qualquer escolha de a e b.

S é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se (x, y, z) pertence a S, então também pertencem a S todos os vetores obtidos a partir de (x, y, z) por multiplicação por um escalar k.

(b) S = (x, y, z) ∈ R³ | -3x² + y - 4z² = 0

Esse conjunto S NÃO é um subespaço vetorial de R³. Isso ocorre porque ele não atende ao critério 2 acima. Por exemplo, se (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) pertencem a S, então (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) não necessariamente pertence a S.

Por exemplo, suponha que (x1, y1, z1) = (1, -3, 0) e (x2, y2, z2) = (1, -3, 0). Nesse caso, (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2, -6, 0). No entanto, esse vetor não pertence a S, pois não satisfaz a equação -3x² + y - 4z² = 0.

Portanto, o conjunto S não é um subespaço vetorial de R³.