As funções exponenciais, como y = ax, são funções crescentes, que rapidamente chegam a valores grandes de y para ainda valores baixos de x. Dada essa caraterística, elas são muito usadas para representar o crescimento exponencial, ou seja, algum sistema que cresce rapidamente com o tempo, como, por exemplo, o crescimento de microrganismos ou a quebra de átomos em uma fissão nuclear.
Suponha que você esteja estudando o crescimento de duas populações de bactérias.
Com base nessas informações, responda:
a) Qual a população inicial de cada cultura de bactéria?
b) Qual a taxa de crescimento dessas populações?
c) Qual a população em t = 10 dias para cada cultura?
d) Com base na resposta anterior, as populações seriam iguais em algum momento? Se sim, para qual t? Qual a taxa de crescimento das populações em t = 10 dias? O que você poderia dizer sobre o crescimento dessas populações?
e) Faça um gráfico da população pelo tempo até 10 dias.
Suponha que você esteja estudando o crescimento de duas populações de bactérias.
Com base nessas informações, responda:
a) Qual a população inicial de cada cultura de bactéria?
b) Qual a taxa de crescimento dessas populações?
c) Qual a população em t = 10 dias para cada cultura?
d) Com base na resposta anterior, as populações seriam iguais em algum momento? Se sim, para qual t? Qual a taxa de crescimento das populações em t = 10 dias? O que você poderia dizer sobre o crescimento dessas populações?
e) Faça um gráfico da população pelo tempo até 10 dias.
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Lista de comentários
De acordo com os conceitos de função exponencial temos as seguintes soluções:
a) [tex]N_1=300[/tex] e [tex]N_2=100[/tex];
b) [tex]N_1'=100\cdot e^{t/3}[/tex] e [tex]N_2'=50\cdot e^{t/2}[/tex];
c) [tex]N_1\approx 8409[/tex] e [tex]N_2\approx 14841[/tex];
d) Sim, irão se igualar durante o 7º dia;
e) O gráfico encontra-se na figura abaixo.
Função Exponencial
Para responder a estas questões precisamos identificar quais são os principais elementos de uma função exponencial dentro do contexto apresentado pelo enunciado.
[tex]y=k\cdot a^x[/tex]
Onde, "k" representa o valor inicial, "a" é a base que representa crescimento ou decrescimento, "x" é o tempo em dias e "y" é a quantidade de bactérias observadas no instante "x".
Dadas as funções [tex]N_1=300\cdot e^{t/3}[/tex] e [tex]N_2=100\cdot e^{t/2}[/tex] podemos efetuar as seguintes análises:
a) A população inicial de cada cultura será dada para o valor de [tex]t=0[/tex] e pela propriedade de potência sabemos que "todo número elevado a zero é igual a um" teremos: [tex]N_1=300[/tex] e [tex]N_2=100[/tex].
b) As taxas de crescimento são dadas pela derivada primeira de cada uma das funções. Aplicando a regra da cadeia temos:
[tex]N_1=300\cdot e^{t/3}\Rightarrow N_1'=300\cdot e^{t/3}\cdot \dfrac{1}{3}\Rightarrow N_1'=100\cdot e^{t/3}[/tex]
[tex]N_2=100\cdot e^{t/2}\Rightarrow N_2'=100\cdot e^{t/2}\cdot \dfrac{1}{2}\Rightarrow N_2'=50\cdot e^{t/2}[/tex]
c) Para saber o valor da população em 10 dias, basta fazermos [tex]t=10[/tex].
[tex]N_1=300\cdot e^{t/3}\Rightarrow N_1=300\cdot e^{10/3}\Rightarrow N_1\approx 8409[/tex]
[tex]N_2=100\cdot e^{t/2}\Rightarrow N_2=100\cdot e^{10/2}\Rightarrow N_2\approx 14841[/tex]
d) Sim, as populações em algum momento podem ser iguais. E para identificar em que momento isso ocorre basta igualarmos as duas funções, isto é, fazer [tex]N_1=N_2[/tex].
[tex]N_1=N_2\\\\300\cdot e^{t/3}=100\cdot e^{t/2}\\\\3=e^{t/6}\\\\\ln 3=\dfrac{t}{6}\\\\t=6\ln 3\\\\t\approx 6,6[/tex]
A quantidade de bactérias das duas populações serão iguais durante o 7º dia.
Em [tex]t=10[/tex] as taxas de crescimento são dadas pela derivada calculada neste ponto.
[tex]N_1'=100\cdot e^{t/3}\\\\N_1'=100\cdot e^{10/3}\\\\N_1'\approx 2803[/tex]
[tex]N_2'=50\cdot e^{t/2}\\\\N_2'=50\cdot e^{10/2}\\\\N_2'\approx 7421[/tex]
Podemos dizer que o crescimento da segunda população é significativamente maior que o da primeira, mesmo a primeira iniciando com uma população maior.
e) Gráfico para uma observação de 10 dias encontra-se abaixo.
Para saber mais sobre Funções Exponenciais acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/6376792
#SPJ1
Resposta:
De acordo com os conceitos de função exponencial temos as seguintes soluções:
a) e ;
b) e ;
c) e ;
d) Sim, irão se igualar durante o 7º dia;
e) O gráfico encontra-se na figura abaixo.
Função Exponencial
Para responder a estas questões precisamos identificar quais são os principais elementos de uma função exponencial dentro do contexto apresentado pelo enunciado.
Onde, "k" representa o valor inicial, "a" é a base que representa crescimento ou decrescimento, "x" é o tempo em dias e "y" é a quantidade de bactérias observadas no instante "x".
Dadas as funções e podemos efetuar as seguintes análises:
a) A população inicial de cada cultura será dada para o valor de e pela propriedade de potência sabemos que "todo número elevado a zero é igual a um" teremos: e .
b) As taxas de crescimento são dadas pela derivada primeira de cada uma das funções. Aplicando a regra da cadeia temos:
c) Para saber o valor da população em 10 dias, basta fazermos .
d) Sim, as populações em algum momento podem ser iguais. E para identificar em que momento isso ocorre basta igualarmos as duas funções, isto é, fazer .
A quantidade de bactérias das duas populações serão iguais durante o 7º dia.
Em as taxas de crescimento são dadas pela derivada calculada neste ponto.
Podemos dizer que o crescimento da segunda população é significativamente maior que o da primeira, mesmo a primeira iniciando com uma população maior.
e) Gráfico para uma observação de 10 dias encontra-se abaixo.
Para saber mais sobre Funções Exponenciais acesse:
Explicação passo a passo: