Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que [tex]\boxed{\bf A_{aprox} = -3,9325}[/tex]

Temos a seguinte função em um dado intervalo:

[tex] \boxed{\:\bf f(x) = x {}^{3} - 6x \: \: \to \: \: 0 \leqslant x \leqslant 3}[/tex]

Como o cálculo pela soma de Riemann demanda vários cálculos para a determinação de sua solução, então vamos listá-los.

• Roteiro:

[tex] \begin{cases} { \bf1)} \: contextualizac \tilde{a}o\\ { \bf2) } \: largura \: da \: partic \tilde{a}o \\ { \bf3)} \: altura \: do \: ret \hat{a}ngulo \\ { \bf4)} \: som at\acute{o}rio \end{cases}[/tex]

A primeira coisa que devemos fazer é desenhar a função que queremos aproximar, e logo após isto fazer as partições de acordo com o que é buscado ou pedido.

• A soma que devemos fazer, de acordo com o enunciado, é através da soma de Riemann pela direita, isto é, fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Dependendo da curva, geraremos áreas com subestimações ou superestimações.

Pelo enunciado, sabemos que são 6 partições, isto é, 6 retângulos dentro de f(x) no intervalo determinado.

Agora vamos de fato ao método da soma de Riemann, que é uma ferramenta que tenta aproximar áreas que são difíceis de calcular. Sendo isto feito através de partições geométricas e menores desta área, a fim de encontrar um aproximação para a mesma. A relação usada para este cálculo é:

[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf A \approx \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \: . \: \Delta x} \\ [/tex]

• Como não vamos utilizar o termo "n" que representa as o número partições, tendendo ao infinito, a expressão se resume a esta acima.

Estes termos dentro do somatório representam a área de cada retângulo, onde f(x) representa a altura e ∆x a base. Cada um destes possui uma relação particular:

[tex] \: \: \: \: x_{i} = a + i \cdot \Delta x \\ \Delta x = \frac{b - a}{n} \: \to \: a \leqslant x \leqslant b \\ [/tex]

• Sabendo das relações vamos diretamente ao cálculo.

Como são seis áreas que aproximam a real, então a expansão do somatório fica:

[tex] \begin{cases}A_{aprox}= A_1 + A_2 + A_3 +A_4 +A_5 +A_6\\ A_{aprox} = f(x_{1}) . \Delta x_{} +f(x_{2}) . \Delta x_{} + \cdots + f(x_{5}) . \Delta x_{} +f(x_{6}) . \Delta x_{} \end{cases}\\ [/tex]

Primeiro vamos descobrir a largura de cada retângulo (é a mesma para todos) utilizando a expressão para ∆x escrita logo acima.

[tex] \Delta x = \frac{b - a}{n} \to \: 0 \leqslant x \leqslant 3 \: e \: \: n = 6 \\ \\ \: \Delta x = \frac{3 -0 }{6} \to \: \Delta x = \frac{3}{6} \: \to \: \boxed{ \Delta x = \frac{1}{2} }[/tex]

Logo em seguida vamos calcular a altura para cada função (neste caso cada um possui uma altura diferente), lembrando que devemos utilizar a função fornecida no enunciado.

[tex] \begin{cases}x_1 = a + i \cdot { \Delta x} \\ x_{1} = 0 + 1 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{1} = \frac{1}{2} \end{cases} \: \begin{cases}x_2 = a + i \cdot { \Delta x} \\ x_{2} = 0 + 2 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{2} = 1 \end{cases} \: \begin{cases}x_3 = 0+ i \cdot { \Delta x} \\ x_{3} = 0 + 3 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{3} = \frac{3}{2} \end{cases} \\ \begin{cases}x_4 = a + i \cdot { \Delta x} \\ x_{4} = 0 + 4 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{4} = 2 \end{cases} \: \begin{cases}x_5 = a + i \cdot { \Delta x} \\ x_{5} = 0 + 5 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{5} = \frac{5}{2} \end{cases} \: \begin{cases}x_6 = a + i \cdot { \Delta x} \\ x_{6} = 0 + 6 \: . \: \frac{1}{2} \\x_{6} = 3 \end{cases}[/tex]

Substituindo os valores de x em f(x):

[tex]f( x_{1}) \: \to \: f \left( \frac{1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2} \right) ^{3} - 6. \frac{1}{2} \: \to \: f \left( \frac{1}{2} \right) = -2,875 \\ \\ f( x_{2}) \: \to \: f \left( 1 \right) = (1 )^{3} - 6. 1 \: \to \: f \left( 1\right) = - 5 \\ \\ f( x_{3}) \: \to \: f \left( \frac{3}{2} \right) = \left(\frac{3}{2} \right) ^{3} - 6. \frac{3}{2} \: \to \: f \left( \frac{3}{2} \right) = -5,625 \\ \\ f( x_{4}) \: \to \: f \left( 2\right) = \left(2 \right) ^{3} - 6. 2 \: \to \: f \left( 2\right) = -4 \\ \\ f( x_{5}) \: \to \: f \left( \frac{5}{2} \right) = \left(\frac{5}{2} \right) ^{3} - 6. \frac{5}{2} \: \to \: f \left( \frac{5}{2} \right) = 0,625 \: \: \\ \\ f( x_{6}) \: \to \: f \left( 3\right) = \left(3 \right) ^{3} - 6. 3 \: \to \: f \left( 3\right) = 9[/tex]

Para finalizar basta substituir na expressão que fizemos a expansão, ou seja, multiplicar a altura pela base para obter a área.

[tex]A_{aprox} = \frac{1}{2} \: . \: ( -2,875) + \frac{1}{2} \: . \: (- 5) \: + \: \frac{1}{2} \: . \: ( -5,625) + \frac{1}{2} \: . \: ( - 4) + \frac{1}{2} \: . \: (0,625) + \frac{1}{2} \: . \: (9) \\ \\ \boxed{A_{aprox} = -3,9325}[/tex]

Espero ter ajudado.

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