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Bonjour,

U₀ = 13 et Un+1 = (Un + 4)/5

1)a) Vn = Un - 1

⇒ Vn+1 = Un+1 - 1

= (Un + 4)/5 - 1

= (Un + 4 - 5)/5

= (Un - 1)/5

= Vn/5

⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 1/5 et de 1er terme V₀ = U₀ - 1 = 12

soit Vn = 12 x (1/5)ⁿ = 12/5ⁿ

b) On en déduit Un = Vn + 1 = 12/5ⁿ + 1

lim Un = lim (12/5ⁿ + 1) = 1

2) a) Sn+1 - Sn

= [U₀ + U₁ + ... + Un + Un+1 - (n + 1) - 1]

-  [U₀ + U₁ + ... + Un - n - 1]

= Un+1 - 1

= Vn+1

= 12/5ⁿ⁺¹ > 0

⇒ (Sn) est croissante

b) Sn = (U₀ + U₁ + ... + Un)  - n - 1

U₀ + U₁ + ... + Un

= (12/5⁰ + 1) + (12/5¹ + 1) + .... + (12/5ⁿ + 1)

= 12 x [(1/5)⁸ + (1/5)¹ + ... + (1/5)ⁿ] + (n + 1)x1

⇒ Sn = 12 x [(1/5)⁸ + (1/5)¹ + ... + (1/5)ⁿ]

= 12 x [1 - (1/5)ⁿ⁺¹]/(1 - 1/5)

= 5/4x 12 x [1 - (1/5)ⁿ⁺¹]

= 15 x [1 - (1/5)ⁿ⁺¹]

c) lim Sn = l = 15

3) a) On calcule les sommes successives U₀, U₀ + U₁, etc.. auxquelles on soustrait n + 1. Ce résultat donne T et (T - l) est comparé avec 10⁻³.

Tant que T - 15 > 10⁻³, on réitère jusqu'à la 1ère valeur de n qui donne (T - 15) < 10⁻³.

On affiche cette valeur

b) on demande la valeur de e on remplace 10⁻³ par e

c) ....

e = 10⁻² ⇒ n = 4

e = 10⁻⁵ ⇒ n = 8