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Bonjour,

1) 1 + 12/5⁰ = 1 + 12 = 13 = U₀ donc propriété vérifiée au rang n = 0

On suppose qu'au rang n, Un = 1 + 12/5ⁿ

Au rang (n+1) : Un+1 = 1/5 x Un + 4/5 = (Un + 4)/5

= (1 + 12/5ⁿ + 4)/5   par hypothèse de récurrence

= (5 + 12/5ⁿ)/5

= 1 + 12/5ⁿ⁺¹

⇒ propriété héréditaire

On en déduit : lim Un quand n → +∞ = lim (1 + 12/5ⁿ) = 1

2) a) Sn+1 - Sn = (U₁ + U₂ + ... + Un + Un+1) - (U₁ + U₂ + ... + Un) = Un+1 = 1 + 12/5ⁿ⁺¹

⇒ Sn+1 - Sn > 0 ⇒ (Sn) croissante

b) Sn = (1 + 12/5¹) + (1 + 12/5²) + ... + (1 + 12/5ⁿ)

= (1 x n) + 12 x [(1/5)¹ + (1/5)² + ... + (1/5)ⁿ]

= n + 12 x [ 1 - (1/5)ⁿ⁺¹]/[1 - 1/5]

= n + 12 x 5/4 x [1 - (1/5)ⁿ⁺¹}

= n + 15[1 - (1/5)ⁿ⁺¹]

c) lim Sn quand n → +∞ = lim (n + 15) = +∞