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Bonjour,

1) f(x) = x(20 - x)/10

a) f'(x) = (20 - 2x)/10

f'(x) = 0 ⇒ x = 10

x      0                   10                 20

f'(x)             +          0        -

f(x)         croiss.            décroiss.

f(0) = 0 f(20) = 0 et f(10) = 10

b) ⇒ pour tout x ∈ [0;20], f(x) ∈ [0;10]

c) ci-joint

2) U₀ = 1   U₁ = 19/10 = 1,9

⇒ 0 ≤ U₀ ≤ U₁ ≤ 10   propriété validée eu rang n = 0

On suppose qu'au rang n : 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 10

Au rang (n + 1) :

Un+2 = f(Un+1)

et Un+1 ∈ [0;10] ⊂ [0;20]

donc, d'après 1)b) : Un+2 ∈ [0;10] ⇔ 0 ≤ Un+2 ≤ 10        (1)

D'autre part  : Un+2 = Un+1(20 - Un+1)/10

0 ≤ Un+1 ≤ 10 ⇒ 0 ≥ - Un+1 ≥ -10 ⇒ 20 ≥ 20 - Un+1 ≥ 10

⇒ 2 ≥ (20 - Un+1)/10 ≥ 1

⇒ 2Un+1 ≥ Un+1(20 - Un+1)/10 ≥ Un+1

⇒ Un+2 ≥ Un+1                                                               (2)

donc d'après l'hypothèse de récurrence et (1) et (2) :

0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 10

La propriété est donc héréditaire.

3) On en déduit :

0 ≤ lim Un ≤ lim Un+1 ≤ 10

Or lim Un = lim Un+1

⇒ lim Un = 10