Verified answer

Réponse :

Explications étape par étape

partie A :

Tu es capable de remplir le tableau quand même ?

■ Un+1 = 2Un - n + 3 donne U9 = 2U8 - 9 + 3 = 1542 ;

                              U10 = 3084 - 10 + 3 = 3077 ;        

                              U11 = 2*3077 - 11 + 3 = 6146 .

■ V9 = 512 ; V10 = 1024 ; V11 = 2048 .

■ ■ U9/V9 ≈ 3,01 ; U10/V10 ≈ 3,005 ; U11/V11 ≈ 3,001 .

■ ■ ■ conjecture :Lim Un = Lim n - 3 = +∞ ;

                                  et Lim(Un/Vn) = 3 .

partie C :

1°) Un+1/Vn+1 = (2Un - n + 3)/2puiss(n+1)

                     = (Un - 0,5n + 1,5)/2puiss(n)

                     = Un/2puiss(n) - (0,5n-1,5)/2puiss(n)

                     = Un/Vn - (0,5n-1,5)/2puiss(n)  

la suite est bien décroissante si 0,5n-1,5 > 0

                                                        0,5 n  > 1,5

                                                               n  >  3

2°) Un+1/Vn+1 < 4 donne (2Un - n + 3) / 2puiss(n+1) < 4

                             Un / 2puiss(n) - (n-3)/2puiss(n+1) < 4

                                 Un / Vn < 4 + (n-3)/2puiss(n+1)

    donc (un/Vn) est bien convergente .

3°) Lim (Un/Vn) = Lim n/2puiss(n) ≤ Lim 1/n = 0

       donc la conjecture avec " 3 " n' est pas vérifiée !