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Bonjour,

1) graphique ci-dessous

On peut conjecturer : (Un) croissante et lim (Un) = 3

2) a) x < 3

⇔ -x > -3

⇔ 6 - x > 6 - 3

⇔ 6 - x > 3

⇒ 1/(6 - x) < 1/3

⇔ 9/(6 - x) < 3

Un+1 = f(Un) ⇒ Un+1 < 3 ⇔ Un < 3

b) Un+1 - Un = 9/(6 - Un) - Un

= [9 - Un(6 - Un)]/(6 - Un)

= (Un² - 6Un + 9)/(6 - Un)

= (Un - 3)²/(6 - Un)

(Un - 3)² ≥ 0 et (6 - Un) > 3

⇒ Un+1 - Un ≥ 0

⇒ (Un) croissante

c) (Un) est croissante et majorée, donc (Un) est convergente

3) Vn = 1/(Un - 3)

a) Vn+1 = 1/(Un+1 - 3)

Un+1 - 3 = 9/(6 - Un) - 3 = {9 - 3(6 - Un)]/(6 - Un) = (-9 + 3Un)/(6 - Un)

⇒ Vn+1 = (6 - Un)/(3Un - 9) = (6 - Un)/3(Un - 3)

⇒ Vn+1 - Vn = (6 - Un)/3(Un - 3) - 1/(Un - 3)

= [(6 - Un) - 3]/3(Un - 3)

= (-Un + 3)/3(Un - 3)

= -1/3

⇒ (Vn) arithmétique de raison r = -1/3 et de 1er terme V₀ = 1/(U₀ - 3) = -1/6

b) on en déduit : Vn = -1/6 - n/3 = -(2n + 1)/6

Vn = 1/(Un - 3) ⇒ Un = 1/Vn + 3

donc Un = -6/(2n + 1) + 3 = [-6 + 3(2n + 1)}/(2n + 1) = (6n -3)/(2n + 1)

c) lim Un = lim 6n/2n = 3