Réponse :

Explications étape par étape

1er sond posi --> p(2d sond posi) = 0,6 -> p(3ème posi) = 0,36

                                                                    p(3ème nég) = 0,24

                            p(2d sond nég) = 0,4 -> p(3ème posi) = 0,04

                                                                -> p(3ème nég) = 0,36

                                                                             TOTAL = 1,00 ♥

2a) proba(2d et 3ème posi) = 0,36

2b) proba(2d et 3ème nég) = 0,36

3°) p(3ème posi) = 0,4o

4°) 3ème posi donne p(2d posi) = (0,36/0,6) / (0,6+(0,04/0,4))

                                                    =         0,6    / (0,6+      0,1      )

                                                    =         0,6    /     0,7

                                                    =           6 / 7

                                                    ≈ 0,857

6°) Pn+1 = 0,5*Pn + 0,1   ?

    Pn+2 = 0,5*Pn+1 + 0,1 = 0,5*(0,5*Pn + 0,1) + 0,1

                                         = 0,5² * Pn + 0,05 + 0,1

                                         = 0,5² * Pn + 0,15

    on a bien ici Po = 1 ; P1 = 0,6 ; P2 = 0,4 ;

    et on aurait P3 = 0,3 ; P4 = 0,25 ; P5 = 0,225 ; ...

7a) Un = Pn - 0,2 donne Un+1 = Pn+1 - 0,2

                                                 = 0,5 Pn + 0,1 - 0,2

                                                 = 0,5 Pn -0,1

                                                 = 0,5 ( Pn - 0,2 )

                                                 = 0,5 Un

      donc la suite (Un) est doncbien une suite géométrique

                de terme initial Uo = 0,8 et de raison q = 0,5 .

7b) Pn = Un + 0,2 = Uo x q puissance(n) + 0,2

     Pn = 0,8 x 0,5 puiss(n) + 0,2 .

7c) pour n tendant vers l' infini :

     Lim Pn = 0,2 .

     ■ vérif : P10 ≈ 0,20078 ; P20 ≈ 0,2000008 ; P25 ≈ 0,20000002 .