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Réponse :

4°) équation de la tangente : y = 3x - 2 .

Explications étape par étape

1°) ■ f(x) = √(x³+1) donne

         f ' (x) = 0,5*3x²/√(x³+1) = 1,5x²/√(x³+1) ≥ 0

         f ' (0) = 0 donc tangente horizontale .

    ■ f(x) = √(1 - 1/x) donne

         f ' (x) = (0,5*1/x²)/√(1 - 1/x) = 0,5 /[ x²*√(1 - 1/x) ] ≥ 0

         pour x tendant vers 0- , on a Lim f ' (x) = +∞

2°) ■ g1(x) = (x + 1/x) puiss4 donne

           g1 ' (x) = 4(1 - 1/x²) * (x + 1/x)³

           pour x tendant vers 0+ , on a Lim g1 ' (x) = -∞

                                               ( asymptote verticale )

     ■ g2(x) = 1/(x+2)puiss4 = (x+2)puiss(-4)

           g2 ' (x) = -4 / (x+2)³ toujours négative sur ] -2 ; +∞ [

            pour x tendant vers -2+ , on a Lim g2 ' (x) = -∞

3°) h(x) = √(x-1) / x donne h(1) = 0

                                         h ' (x) = [ (0,5x/√(x-1)) - √(x-1) ] / x²

                                                  = [ (0,5x-x+1) / √(x-1) ] / x²

                                                  = (1-0,5x) / [ x²√(x-1) ]

         pour x tendant vers 1+ , on a Lim h ' (x) = +∞

4°) f(x) = (x²-x+1)³ donne f(1) = 1

                                       f ' (x) = 3 (2x-1) (x²-x+1)²

    ■ la dérivée est positive pour 2x-1 > 0 --> x > 0,5

                                négative pour 0 ≤ x < 0,5

    ■ f ' (1) = 3 donc l' équation de la tangente

          au point T de coordonnées (1;1) est y = 3x - 2 .