Calcula o valor da integral de linha seguinte:a) f(x,y,z)dr, com:F(x,y,z)=xzi+(y+z)j+xkC é a curva c.... Pergunta de ideia deJotaamelao

December 2019 1 87 Report

Calcula o valor da integral de linha seguinte:
a) f(x,y,z)dr, com:
F(x,y,z)=xzi+(y+z)j+xk
C é a curva com representação parametrica seguinte:
x=e^t; y=e^2t e t€[0,1]

Lista de comentários

deividsilva784 $\\ \displaystyle \oint\limits $\textrm{ {F(r)}}$\, \cdot \textrm{dr } = \displaystyle \oint\limits $(\textrm{F_x \vec{i}}$ +\, F_y \vec{j}+F_z \vec{k)}}} \cdot $(\textrm{d_x \vec{i} } + d_y \vec{j}} +d_z \vec{k}})$
 \\ 
 \\ = \displaystyle \oint\limits ( F_x \cdot dx + F_y \cdot dy + F_z \cdot dz)
$

$\\ \textbf{Calculando as derivadas:}
 \\ 
 \\ \texrm{x} = e^t
 \\ 
 \\ \displaystyle \frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{d(e^t)}{dt} 
 \\ 
 \\ dx = e^tdt 
 \\ 
 \\ y = e^{2t}
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(e^{2t})}{dt} 
 \\ 
 \\ dy = 2e^tdt
 \\ 
 \\ \textrm{z = 0}
 \\ 
 \\ \textrm{dz = 0}
 \\ 
 \\ \textbf{Substituindo "X" , "y" e z no campo}
 \\ 
 \\ \texrm{ F(x, y , z) = x \cdot z \vec{i} + (y+z) \cdot \vec{j} +x \vec{k}}
$

$\\ \textrm{F(r)} = e^t \cdot (0) \vec{i} + (e^{2t}+0) \vec{j}+e^t\vec{k}
 \\ 
 \\ = 0 \vec{i} + e^{2t} \vec{j} +e^t \vec{k}
 \\ 
 \\ \textbf{Portanto, substituindo na integral:}
 \\ 
 \\ = \displaystyle \oint_{0}^{1} (0 \cdot e^tdt + e^{2t} \cdot 2e^{2t}dt +e^t \cdot 0 )
 \\ 
 \\ = \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} \cdot 2e^{2t}dt )
 \\ 
 \\ = 2\cdot \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} )^2 dt
 \\ 
 \\ \textbf{Com "u" = 2t}
 \\ 
 \\ u = 2t
 \\ 
 \\ \frac{du}{dt} = 2
 \\ 
 \\ du = 2dt
$

$\\ \therefore 
 \\ 
 \\ = 2 \cdot \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} )^2dt = \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{u} )^2du = \displaystyle \oint_{0}^{1} e^{u^2}du
 \\ 
 \\ \textbf{Mudando o limite em "u"}
 \\ 
 \\ u = 2t
 \\ 
 \\ \textbf{Com t igual a zero:}
 \\ 
 \\ u_o = 0
 \\ 
 \\ \textbf{Com t igual a 1:}
 \\ 
 \\ u_1 = 2
 \\ 
 \\ \therefore
 \\ 
 \\ = \displaystyle \oint_{0}^{2} e^{u^2}du
 \\ 
 \\ \textbf{Essa integral nao possui uma primitiva, }
 \\ \textbf{Calcula-se pela soma de rieman!}
$

$\\ \textbf{Com "n" = 10, quanto maior o valor de "n",}
 \\ 
 \\ \textbf{Mais preciso e o resultado final!}
 \\ 
 \\ x_1 = a + \Delta x
 \\ 
 \\ x_2 = a + 2 \cdot \Delta x
 \\ 
 \\ x_3 = a + 3 \cdot \Delta x
 \\ 
 \\ \vdots
 \\ 
 \\ x_{10} = a + 10 \cdot \Delta x
 \\ 
 \\ \textbf{Com:} 
 \\ 
 \\ \Delta x = \displaystyle \frac{b - a}{n} = \frac{2 -0}{10} = 0,2
 \\ 
 \\ \therefore
 \\ 
 \\ \displaystyle \oint_{0}^{2} ( e^{u} )^2du = \Delta x \cdot( f(x_1) +f(x_2)+f(x_3)+\cdots + f(x_{10}))
$

$\\ \cong 0, 2\cdot ( f(\Delta x) + f(2 \cdot \Delta x) + f(3 \cdot \Delta) + \cdots + f(10 \cdot \Delta x))
 \\ 
 \\ \cong 0,2 \cdot ( e^{(0,2)^2} +e^{(0,4)^2}+e^{(0,6)^2}+e^{(0,8)^2}+e^{(1)^2}+e^{(1,2)^2}+e^{(1,4)^2}+
 \\ 
 \\ e^{(1,6)^2}+ e^{(1,8)^2}+e^{(2)^2}
 \\ 
 \\ \cong 0,2 \cdot ( 112,6501257)
 \\ 
 \\ \cong \boxed{22,53}$

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deividsilva784 x1 = a + Deltax

deividsilva784 X2 = a + 2Deltax

deividsilva784 ..

deividsilva784 E substitua na soma de rieman como foi feito pra primeira integral.

deividsilva784 Conseguio entender?

Jotaamelao está bem amigão agradeço muito engenheito

deividsilva784 Qualquer dúvida, me chame que estarei a disposição.

Jotaamelao Entendes Física também?

deividsilva784 Sim

Jotaamelao okay podes me ajudar em alguns exercicios que mandei veja so