Calcular a integral indefinida:Resolução detalhada com os métodos utilizados.... Pergunta de ideia deRennanCampelo

December 2019 1 174 Report

Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{1}{1-cos(x) + sen(x)}~\mathasf{dx}}}$

Resolução detalhada com os métodos utilizados.

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Lukyo

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Calcular a integral indefinida

$\displaystyle\int\frac{1}{1-\cos x+\mathrm{sen\,}x}\,dx$

Para integrar esse tipo de função, fazemos uma substituição especial:

$\begin{array}{lcl} u=\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}&\quad\Rightarrow\quad&\left\{ \begin{array}{l} x=2\,\mathrm{arctg\,}u\quad\Rightarrow\quad dx=\dfrac{2}{1+u^2}\,du\end{array} \right.\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\cdot \dfrac{2\cos\frac{x}{2}}{2\cos\frac{x}{2}}\\\\ &&u=\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{(2\cos^2\frac{x}{2}-1)+1}\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\qquad\quad\checkmark \end{array}$

Essa última linha é uma forma alternativa de representar a nova variável u. Para expressar sen x e cos x em termos de u, usamos as identidades do arco duplo:

$\mathrm{sen\,}x=2\,\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$

Colocando cos² (x/2) em evidência,

$\mathrm{sen\,}x=\cos^2\dfrac{x}{2}\cdot \left(2\,\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\right)\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{\sec^2\frac{x}{2}}\cdot 2\,\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{2\,\mathrm{tg\,}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg^2\,}\frac{x}{2}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{2u}{1+u^2}\qquad\quad\checkmark$

De forma análoga, encontramos

$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}\qquad\quad\checkmark$

Substituindo, a integral fica

$\displaystyle=\int\frac{1}{1-\frac{1-u^2}{1+u^2}+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{(1+u^2)-(1-u^2)+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{1+u^2-1+u^2+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{2u^2+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{2(u^2+u)}\,du\\\\\\ =\int\frac{1}{u(u+1)}\,du$

Esta integral em u sai pelo método de frações parciais:

$f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{A}{u}+\dfrac{B}{u+1}\\\\\\ f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{A(u+1)+Bu}{u(u+1)}\\\\\\ f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{(A+B)u+A}{u(u+1)}$

Por identidade polinomial nos numeradores, encontramos o sistema

$\left\{ \begin{array}{l} A+B=0\\\\ A=1 \end{array} \right.$

de onde encontramos os valores das constantes A = 1 e B = − 1. Assim, a integral fica

$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right)\,du\\\\\\ =\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|+C$

Volte para a variável x usando a relação

$u=\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}\quad\textrm{ ou }\quad u=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}$

e você obtém a resposta:

$=\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\right|-\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}+1\right|+C\\\\\\ =\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\right|-\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x+1+\cos x}{1+\cos x}\right|+C\\\\\\ =\left(\ln\left|\mathrm{sen\,}x\right|-\ln\left|1+\cos x\right|\right)-\left(\ln\left|\mathrm{sen\,}x+\cos x+1\right|-\ln\left|1+\cos x\right| \right )+C$

$=\ln\left|\mathrm{sen\,}x\right|-\ln\left|\mathrm{sen\,}x+\cos x+1\right|+C$ <———— esta seria uma resposta.

Bons estudos! :-)

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RennanCampelo Muito obrigado, Lucas!

Lukyo De nada! :)