Investigar a seguinte integral imprópria:Resoluções sem cálculos e trolls serão eliminadas.... Pergunta de ideia deRennanCampelo

May 2019 1 187 Report

Investigar a seguinte integral imprópria:

$\mathsf{\displaystyle\int\limits_{e}^{+\infty}\dfrac{dx}{x(lnx)^2}}}$

Resoluções sem cálculos e trolls serão eliminadas.

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Lukyo

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Avaliar a integral imprópria:

$\mathsf{\displaystyle\int _e^{+\infty} \frac{dx}{x(\ell n\,x)^2}}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int _e^{+\infty} \frac{1}{(\ell n\,x)^2}\cdot \frac{1}{x}\,dx}$

Vamos fazer uma mudança de variável

$\mathsf{u=\ell n\,x\quad\Longrightarrow \quad du=\dfrac{1}{x}\,dx}$

Novos limites de integração:

$\begin{array}{lcl}\mathsf{Quando~~x=e}&\quad\Longrightarrow\quad&\mathsf{u=\ell n\,e}\\\\ &&\mathsf{u=1}\\\\\\ \mathsf{Quando~~x\to +\infty}&\quad\Longrightarrow\quad&\mathsf{u\to +\infty}\end{array}$

e a integral fica

$\mathsf{\displaystyle=\int_1^{+\infty} \frac{1}{u^2}\,du}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\int_1^{+\infty} u^{-2}\,du}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}\bigg|_1^{+\infty}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{u^{-1}}{-1}\bigg|_1^{+\infty}}\\\\\\ \mathsf{=-\,\dfrac{1}{u}\bigg|_1^{+\infty}}$

$\mathsf{=\underset{u\to +\infty}{\ell im} \Big(\!-\dfrac{1}{u}\Big)-\Big(\!-\dfrac{1}{1}\Big)}\\\\\\ \mathsf{=0-(-1)}\\\\\\ \mathsf{=1\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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RennanCampelo muito obrigado colega

Lukyo Disponha! :-)

rebecaestivaletesanc Eu amo essas soluções fantásticas. Adoro ver como esse menino liquida com a questão. Parabéns.

Lukyo Obrigado pela apreciação. Fico feliz que gostou! :-)

RennanCampelo O Lucas tem uma forma muito elegante de desenvolver as resoluções, postei a questão pois havia achado 1 como resposta e o gabarito do livro dizia ser "e".