Resposta:

O vetor gradiente de uma função em um ponto (xo, yo, zo), denotado por ∇f(xo,yo,zo), é um vetor normal à superfície que representa essa função no ponto de tangência. Calculemos ∇f(1,2,-3):  

Escreva a superfície de maneira implícita, ou seja, faça F(x,y,z)=0  

z= f(x,y) = x^2+3xy² - 2y^3x³

x^2+3xy² - 2y³x³ - z = 0

∇f(xo,yo,zo) = [∂f/∂x(xo,yo,zo), ∂f/∂y(xo,yo,zo), ∂f/∂z(xo,yo,zo)]  

∇f(1,2,-3) = [∂f/∂x(1,2,-3), ∂f/∂y(1,2,-3), ∂f/∂z(1,2,-3)]  

∇f(1,2,-3) = [(2x+3y²-6y³x²)(1,2,-3), (6xy-6y²x³)(1,2,-3), (-1)(1,2,-3)]  

∇f(1,2,-3) = [(2+12-6*(8)*1),(6*1*2-6*2²*1)-1]

∇f(1,2,-3) = (-34,-12,-1).  

Seja (x,y,z) um ponto qualquer do plano procurado , então:

v = (x-(-34), y-(-12), z-(-1)) é um vetor deste plano.

Por outro lado, seja v = (x+34, y+12, z+1) um vetor do plano tangente à superfície. Como o gradiente é normal à superfície no ponto, então qualquer vetor v = (x+34, y+12, z+1) do plano tangente à superfície é perpendicular ao vetor gradiente. Ou seja, o produto escalar do vetor gradiente por esse vetor v do plano será nulo, já que são perpendiculares:  

< ∇f, v > = 0  

< (-34,-12,-1),(x+34, y+12, z+1) > = 0  

(-34)*(x+34) -12*(y+12) -1*(z+1)=0

-34x-1156-12y-144 -z-1 =0

-34x-12y-z-1301=0

34x+12y+z+1301=0  é a resposta