Considere a transformação linear T : P2[t](R) -> R^4 definido por T(at² + bt + c) = (2a + c; a - b + c; a + b; 3a + b + c) (i) Determine uma base para Nuc(T) e sua dimensão. (ii) Determine uma base para Im(T) e sua dimensão.
Uma base, portanto, para Nuc(T) é o conjunto de um elemento (polinômio) pois qualquer elemento pertencente a Nuc(T) pode ser escrito na forma
pois o conjunto que forma a base possui 1 elemento.
Na matriz de transformação 4x3 acima, verifica-se que a segunda coluna é uma combinação linear da primeira e da terceira coluna, pois a segunda coluna é igual à primeira menos duas vezes a terceira.
Portanto, o conjunto dos vetores formado pela primeira e terceira colunas da matriz de transformação, removendo-se a segunda que é redundante, ou seja, {(2,1,1,3),(1,1,0,1)}, gera Im(T), pois:
Verifica-se facilmente que este conjunto é L. I., pois:
Como o conjunto {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} gera Im(T) e é L. I., então {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} é uma base para Im(T).
pois o conjunto que forma a base possui 2 elementos.
Observação importante: Veja que as dimensões do Núcleo e da Imagem satisfazem o Teorema da Dimensão, pois:
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Oi, Jr.Portanto:
Se então:
Uma base, portanto, para Nuc(T) é o conjunto de um elemento (polinômio) pois qualquer elemento pertencente a Nuc(T) pode ser escrito na forma
pois o conjunto que forma a base possui 1 elemento.
Na matriz de transformação 4x3 acima, verifica-se que a segunda coluna é uma combinação linear da primeira e da terceira coluna, pois a segunda coluna é igual à primeira menos duas vezes a terceira.
Portanto, o conjunto dos vetores formado pela primeira e terceira colunas da matriz de transformação, removendo-se a segunda que é redundante, ou seja, {(2,1,1,3),(1,1,0,1)}, gera Im(T), pois:
Verifica-se facilmente que este conjunto é L. I., pois:
Como o conjunto {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} gera Im(T) e é L. I., então {(2,1,1,3),(1,1,0,1)} é uma base para Im(T).
pois o conjunto que forma a base possui 2 elementos.
Observação importante: Veja que as dimensões do Núcleo e da Imagem satisfazem o Teorema da Dimensão, pois: