Considere T : P2[x](R) -> P4[x](R) a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x²) (i) Determine.... Pergunta de ideia deJuniormendes89

April 2020 1 125 Report

Considere T : P2[x](R) -> P4[x](R) a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x²) (i) Determine Nuc(T) e determine sua dimensão. (ii) Uma base para a imagem de T:

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Celio

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Oi, Jr.

$\text{(i) }p(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0, a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}
\\\\
p(x^2) = a(x^2)^2 + a_1x^2 + a_0 = a_2x^4 + a_1x^2 + a_0
\\\\
p(x^2)=0 \Leftrightarrow a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0$

Ou seja:

$Nuc(T)=\{p(x)\in P_2(\mathbb{R})\ |\ p(x)\equiv 0\} \Rightarrow \\\\ Nuc(T)=\{0\} \Rightarrow\boxed{dim(Nuc(T))=0}$

Observação: Subespaços vetoriais nulos possuem dimensão zero e é o único caso possível de subespaço vetorial com dimensão zero.

$\text{(ii) }Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}$

Um base para Im(T) é $\boxed{\{x^4,x^2,1\}},$   pois, conforme verificado em (i),

$a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0 \Rightarrow$ o conjunto de monômios

$\{x^4,x^2,1\}$ é L.I. Além disso, o conjunto   $\{x^4,x^2,1\}$   gera Im(T), pois

$Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}.$

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Celio Sim, de "kernel" (núcleo, em inglês). Muitos livros e artigos usam ker(T).

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