Determine, sabendo que 0,3010.... Pergunta de ideia deDudubrand

Dudubrand @Dudubrand

April 2020 1 130 Report

Determine, sabendo que 0,3010<log2<0,3011, quantos digitos tem 2^300

Obs: a base desse log é 10 e o 2 é elevado a 300.Tentei editar mas quando postei nao aparecia a questao inteira.

Segue o gabarito:91

Gostaria de saber o passo a passo, grato

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Celio

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Olá, Dudu.

$0,3010<\log2<0,3011\\\\ \text{Multiplicando todos os termos da desigualdade por 300 temos:}\\\\ 300 \cdot 0,3010 < 300\log2 < 300 \cdot 0,3011\Rightarrow\\\\ 90,3 < \log2^{300} < 90,33\Rightarrow\\\\ 10^{90,3} < 10^{\log2^{300}} < 10^{90,33}\Rightarrow\\\\ 10^{90,3} < 2^{300} < 10^{90,33}\Rightarrow\\\\ 2^{300} = 10^{90,3...} = 10^{90} \cdot 10^{0,3...}$

$10^{90,3} < 2^{300} < 10^{90,33}\Rightarrow\\\\ 10^{90} \cdot 10^{0,3} < 2^{300} < 10^{90} \cdot 10^{0,33} \Rightarrow\\\\ 10^{90} \cdot 10^{0} <10^{90} \cdot 10^{0,3} < 2^{300} < 10^{90} \cdot 10^{0,33} <10^{90} \cdot 27^{0,333...} \Rightarrow\\\\ 1 \cdot 10^{90} < 2^{300} < 10^{90} \cdot 27^{\frac13} \Rightarrow \\\\ 1 \cdot 10^{90} < 2^{300} < 10^{90} \cdot \sqrt[3]{27} \Rightarrow \\\\ 1 \cdot 10^{90} < 2^{300} < 3 \cdot 10^{90} \\\\ \therefore 2^{300}\text{ possui 91 d\'igitos.}$