x^2-x(log.... Pergunta de ideia deDudubrand

April 2020 2 141 Report

x^2-x(log $Sejam\ a\ e\ b\ dois\ numeros\ reais\ positivos\ e\ diferentes\ de\ um.\\Qual\ a\ relacao\ entre\ a\ e\ b\ para\ que\ a\ equacao\\ x^{2}-x(log_{b}a)+2log_{a}b=0\\ tenha\ duas\ raizes\ reais\ e\ iguais$

Celio

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Olá, Dudu.

Para que esta equação de segundo grau tenha duas raízes iguais devemos ter, na fórmula de Bhaskara, a seguinte condição:

$\Delta=0 \Rightarrow (\log_ba)^2-8\log_ab=0 \Rightarrow (\log_ba)^2-\frac8{\log_ba}=0\\\\ \text{Fa\c{c}amos a seguinte mudan\c{c}a de vari\'avel: } \boxed{y=\log_ba} \Rightarrow\\\\ y^2-\frac8y=0\ \ (\times y) \Rightarrow y^3-8=0 \Rightarrow y^3=8 \Rightarrow \boxed{y=2}\\\\ \therefore \text{A condi\c{c}\~ao necess\'aria para que a equa\c{c}\~ao tenha duas solu\c{c}\~oes}\\ \text{iguais \'e que }\boxed{\log_ba=2}.$