∫√(4-x²)  dx

Fazendo x=2 sen(u)   ==> dx= 2 * cos (u)   du  

∫√(4-(2sen(x))²)  2 * cos (u)   du  

*** não esquecendo cos²(u)+sen²(u)=1  ==> cos²(u)=1-sen²(u)

∫√(4-(2sen(u))²)  2 * cos (u)   du  

∫√(4-4sen²(u))  2 * cos (u)   du  

∫2*√(cos²(u)))  2 * cos (u)   du  

∫2*cos(u) *  2 * cos (u)   du  

∫ 4*cos²(u) du  

4* ∫ cos²(u) du

** não esquecendo que  ∫cos²(u) du = (1/2)* (u + sen(u)* cos(u)  + const

4* ∫ cos²(u) du = 4 * [ (1/2)* (u + sen(u)* cos(u) ) + const]

= 2* [  u + sen(u)* cos(u) ] + const

Como x=2 sen(u)   ==> u = sen⁻¹(x/2)

           x²=4sen²(u)  ==> x²-4 = -4 +4sen²(u)  ==> x²-4=-4cos²(u)

           4-x²=4cos²(x)

           cos²(u) =(4-x²)/4  ==< cos(x) = √(x²-4)/2

= 2* [ (sen⁻¹(x/2) + x/2* √(4-x²)/2 ] + const

=  2sen⁻¹(x/2) + x/2* √(4-x²) + const

Colocando o limites   ......quando colocamos os limites cosnt=0

                                           2

[2sen⁻¹(x/2) + x/2* √(4-x²)]

                                          -2

[2sen⁻¹(2/2) + 2/2* √(4-2²)]  -  [2sen⁻¹(-2/2) -2/2* √(4-(-2)²)]

= [2sen⁻¹(1) + 2/2* 0]  -  [2sen⁻¹(-1) - 1* 0]

2sen⁻¹(1) - 2sen⁻¹(-1)

= pi -(- pi) =  2pi  é a resposta