Explicação passo-a-passo:

[tex]x {}^{ \sqrt{8} } \: + x {}^{ \sqrt{2} } = 11 \\ \\ x {}^{ \sqrt{4 \times 2} } \: + x {}^{ \sqrt{2} } = 11 \\ x {}^{ \sqrt{4} \times \sqrt{2} } \: + x {}^{ \sqrt{2} } = 11 \\ x {}^{2 \sqrt{2} } \: + x {}^{ \sqrt{2} } = 11 \\ (x {}^{ \sqrt{2} }) {}^{2} \: + x {}^{ \sqrt{2} } = 11 \\ x {}^{ \sqrt{2} } = y \\ y {}^{2} \: + y = 11 \\ y {}^{2} + y \: + \frac{1}{4} = 11 \: + \frac{1}{4} \\ (y \: + \frac{1}{2} ) {}^{2} = \frac{45}{4} \\ \sqrt{(y \: + \frac{1}{2} }) {}^{2} = \sqrt{ \frac{45}{4} } \\ |y \: + \frac{1}{2} | = \frac{ \sqrt{45} }{2} \\ y \: + \frac{1}{2} = - \frac{3 \sqrt{5} }{2} \: ou \: \frac{3 \sqrt{5} }{2 \\ } \\ y = \frac{ - 1 + 3 \sqrt{2} }{2} \\x {}^{ \sqrt{2} } = y \\ x {}^{ \sqrt{2} } = \frac{ - 1 + 3 \sqrt{2} }{2} \\ (x {}^{ \sqrt{2} }) {}^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } = ( \frac{ - 1 + 3 \sqrt{5} }{2}) {}^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } \\ portanto \: x = ( \frac{ - 1 + 3 \sqrt{5} }{2} ) {}^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }[/tex]

O valor negativo de y não atende a solução para x uma vez que x pertencente ao conjunto dos números reais.