Para se determinar a região formada entre dois vetores, bem como o ângulo entre eles são necessários os conceitos de produto escalar e produto vetorial. Sendo dois vetores:
->
u = (-1,1,0)
->
v = (2,-3,0)
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Afirma-se que:
I) O produto interno entre eles é um vetor de módulo 5.
II) O ângulo entre os vetores é pouco maior que 168º.
III) O produto interno entre o dobro de cada um dos vetores indicados é um escalar de módulo 20.
IV) O produto vetorial entre eles é um vetor de módulo 1.
Das afirmações acima, estão corretas:
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u = (-1,1,0)
->
v = (2,-3,0)
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Afirma-se que:
I) O produto interno entre eles é um vetor de módulo 5.
II) O ângulo entre os vetores é pouco maior que 168º.
III) O produto interno entre o dobro de cada um dos vetores indicados é um escalar de módulo 20.
IV) O produto vetorial entre eles é um vetor de módulo 1.
Das afirmações acima, estão corretas:
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Vamos analisar cada afirmativa.
Sendo u = (-1,1,0) e v = (2,-3,0), então:
I) Calculando o produto interno:
<u,v> = <(-1,1,0),(2,-3,0)> = (-1).2 + 1.(-3) + 0.0 = -2 - 3 = -5.
Podemos perceber que o resultado não é um vetor, e sim um escalar.
Portanto, a afirmativa está errada.
II) Sabendo que:
<u,v> = ||u|| ||v|| cos(u,v)
então:
||u|| = √2 e ||v|| = √13
Logo,
-5 = √2.√13.cos(u,v)
cos(u,v) ≈ 168,7°
Portanto, a afirmativa está correta.
III) Multiplicando u e v por 2:
2u = (-2,2,0) e 2v = (4,-6,0).
Agora, calculando o produto interno:
<2u,2v> = <(-2,2,0),(4,-6,0)> = (-2).4 + 2.(-6) + 0.0 = -8 - 12 = -20
Assim, ||-20|| = 20.
Portanto, a afirmativa está correta.
IV) Temos que:
| i j k|
|-1 1 0|
|2 -3 0|
uxv = i(1.0 - (3).0) - j((-1).0 - 2.0) + k((-1).(-3) - 2.1)
uxv = 0i - 0j + 1k
uxv = (0,0,1)
Logo, ||uxv|| = 1.
Portanto, a afirmativa está correta