Qual a base do Sistema de Numeração em que 243 é o quadrado de 16?Resposta: 11.... Pergunta de ideia deGuilhermeAndrade2437

GuilhermeAndrade2437 @GuilhermeAndrade2437

November 2019 1 293 Report

Qual a base do Sistema de Numeração em que 243 é o quadrado de 16?
Resposta: 11

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ArthurPDC

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Seja N a base que queremos descobrir. Pelo enunciado:

$\left(243\right)_N=\left(16\right)_N^2$

Vamos reescrever os números dos dois lados na base 10, que é a que utilizamos normalmente:

$(2\cdot N^2+4\cdot N^1+3\cdot N^0)=(1\cdot N^1+6\cdot N^0)^2\\\\
2N^2+4N+3=(N+6)^2\\\\
2N^2+4N+3=N^2+12N+36\\\\
N^2-8N-33=0\\\\\\
\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-33)\\\\
\Delta=64+132\Longrightarrow \Delta=196\\\\\\
N=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{196}}{2\cdot1}=\dfrac{8\pm14}{2}=4\pm7\Longrightarrow\begin{cases}\boxed{N=11}~\checkmark \\ N=-3~\times\end{cases}$

Como N não pode ser negativo, a única solução possível para a questão é N=11.

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