Sabendo que z = x² + 5x - 50 - 10xi + 50i é imaginário puro e que x ∈ ℝ, determine: a) O valor de x .... Pergunta de ideia dePopeye1

December 2019 1 84 Report

Sabendo que z = x² + 5x - 50 - 10xi + 50i é imaginário puro e que x ∈ ℝ, determine:

a) O valor de x

b) z na forma algébrica

Passo a passo

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Lukyo

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Tomemos o complexo z dado, com x ∈ ℝ:

z = x² + 5x − 50 − 10xi + 50i

Separando parte real e parte imaginária:

z = (x² + 5x − 50) + (− 10x + 50) · i

z = Re(z) + Im(z) · i

• Parte real: Re(z) = x² + 5x − 50;

• Parte imaginária: Im(z) = − 10x + 50.

Como z é imaginário puro, a parte real deve ser nula e a parte imaginária diferente de zero:

$\left\{ \!\begin{array}{l} \mathsf{Re(z)=0}\\\\ \mathsf{Im(z)\ne 0} \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{ \!\begin{array}{ll} \mathsf{x^2+5x-50=0}&\quad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{-10x+50\ne 0}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$

Resolvendo (i):

$\mathsf{x^2+5x-50=0}$

Podemos resolver a equação quadrática acima via fatoração por agrupamento. Reescreva 5x como − 5x + 10x:

$\mathsf{x^2-5x+10x-50=0}$

Coloque x em evidência nos dois primeiros termos e 10 em evidência nos dois últimos termos do lado esquerdo:

$\mathsf{x(x-5)+10(x-5)=0}$

Agora, coloque o fator (x − 5) em evidência:

$\mathsf{(x-5)(x+10)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x-5=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+10=0}\\\\ \mathsf{x=5}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-10} \end{array}$

Mas por (ii), devemos ter

$\mathsf{-10x+50\ne 0}\\\\ \mathsf{-10x\ne -50}\\\\ \mathsf{x\ne \dfrac{-50}{-10}}\\\\ \mathsf{x\ne 5}$

a) Então, o único valor possível para x é

x = − 10 ✔

b) Escrevendo z na forma algébrica:

z = Re(z) + Im(z) · i

z = 0 + [− 10 · (− 10) + 50] · i

z = 0 + [100 + 50] · i

z = 0 + 150i

z = 150i <———— esta é a forma algébrica.

Bons estudos! :-)

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