Seja T : R³ -> R³ uma transformação linear dada por T(x; y; z) = (2x + Bz; Bz + 2y; By + 2z); determine para que valores de B a transformação linear não é sobrejetiva.
Uma transformação linear é sobrejetiva ou sobrejetora se o conjunto imagem é igual ao contradomínio da transformação.
O contradomínio da transformação T é R³. Portanto, sua imagem deve ser todo o R³ também.
A transformação T = (2x + Bz, Bz + 2y, By + 2z) pode ser escrita, na forma matricial, como sendo:
Para que a imagem de T seja igual ao contradomínio R³, devem existir, para quaisquer vetores u = (x,y,z) pertencentes ao domínio R³, vetores v = (x',y',z') pertencentes ao contradomínio R³ tais que T(u) = v, ou seja, devem existir x', y' e z', para quaisquer x, y e z, tais que:
Para que a condição acima seja possível, o determinante da matriz 3x3 do sistema linear acima deve ser diferente de zero, ou seja:
Lista de comentários
Verified answer
Oi, Jr.Uma transformação linear é sobrejetiva ou sobrejetora se o conjunto imagem é igual ao contradomínio da transformação.
O contradomínio da transformação T é R³. Portanto, sua imagem deve ser todo o R³ também.
A transformação T = (2x + Bz, Bz + 2y, By + 2z) pode ser escrita, na forma matricial, como sendo:
Para que a imagem de T seja igual ao contradomínio R³, devem existir, para quaisquer vetores u = (x,y,z) pertencentes ao domínio R³, vetores v = (x',y',z') pertencentes ao contradomínio R³ tais que T(u) = v, ou seja, devem existir x', y' e z', para quaisquer x, y e z, tais que:
Para que a condição acima seja possível, o determinante da matriz 3x3 do sistema linear acima deve ser diferente de zero, ou seja: